题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若B. “C. 命题“D. 命题“若
”是“
，使，则，则
”的否命题为：“若”必要不充分条件
”的否定是：“
均有
”
，则
”
”的逆否命题为真命题
参考答案：
D 【分析】
分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】解：误． ．由
要条件，故错误． ．命题“．命题“若，则故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定． 2. 奇函数
满足对任意
都有
且
，则
使得，则
”的否定是：“
均有
”，故
错误．
，解得
或
，则“
”是“
”的充分不必
．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”，则
错
”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若
正确．
”的逆否命题为真命题，故
＝________。
A. －8
B. 8
C. －9
D. 9
参考答案：
C 略
3. 设，若
，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
参考答案：
B
试题分析：由
得
，
，
∴又等号，
，∴
，即
, ，当且仅当
，即
时取
所以
考点：基本不等式.
4. 已知i是虚数单位，则|A．1 B．2
. 故.
|=（ ）
C．2 D．
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：则|
|=
．
=
，
故选：D．
5. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ） （A）所有不能被2整除的数都是偶数 （B）所有能被2整除的数都不是偶数 （C）存在一个不能被2整除的数是偶数 （D）存在一个能被2整除的数不是偶数
参考答案：
D 略
6. 若非空集合A={x|的集合是 A．
（ ）
B．
C．
D．
}
,则能使
,成立的所有a
参考答案：
B
7. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
参考答案：
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值． 【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a， 由题意得当正方体体积最大时：∴R=
，
=R2，
∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
=
故选：A．
=．
8. 已知角的终边经过,则等于( )
A． B． C．
D．
参考答案：
A
9. “”是“”的 （ ） B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
参考答案：
A
10. 函数在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）
参考答案： C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,则二项式展开式中的第4项为 _______.
参考答案：
-1280
12. 若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，1）
考点：函数恒成立问题．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函数的单调性可求最值． 解答： 解：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，
则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max， 而2﹣x﹣3x在[0，1]上单调递减， ∴2﹣3x的最大值为2﹣0=1， ∴a＜1，
故a的取值范围是（﹣∞，1）， 故答案为：（﹣∞，1）．
﹣x
0
点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．
13. 在无穷等比数列{an}中，__________。
等于
参考答案：
14. 将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如右表所示．若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共 张
参考答案： 7
15. 若实数满足，则的最小值
为 .
参考答案：
16. 双曲线
的离心率为 ．
参考答案：
2
17. 甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有 种不同的传递方法．（用数字作答）
参考答案：
60种
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某大学举办“我爱记歌词”校园歌手大赛，经过层层选拔，有5人进入决赛。决赛办法如下：选手先参加“千首电脑选歌”演唱测试，测试过关者即被授予“校园歌手”称号，否则参加“百首电脑选歌”演唱测试。若“百首电脑选歌”演唱测试过关也被授予“校园歌手”称号，否则被彻底淘汰。若进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关的概率是0.5，“百首电脑选歌”演唱测试合格的概率是0.8，而且每个人每轮测试是否合格是相互独立的。试计算（结果精确到0.01）： （1）恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率； （2）平均有几人参加“百首电脑选歌”演唱； （3）至少一人被最终淘汰的概率。 参考答案：
（1）记A表示事件“恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱”，则事件A等价于进入决赛的5人中，恰好有3人“千首电脑选歌”演唱测试过关，
所以，
因此恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率是0.31。
（2）设参加“百首电脑选歌”演唱的人数为，依题意=0，1，2，3，4，5。
表示进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关其中=0，1，2，3，4，5。 由已知
，从而的数学期望是
＝
，
人，未过关人，
即平均有2.50人参加“百首电脑选歌”演唱。 （3）记B表示事件“至少一人被最终淘汰”，则
表示事件 “5人都被授予“校园歌
手”称号”， 包括参加“千首电脑选歌”演唱测试过关者和参加“千首电脑选歌”演唱测试未过关者又参加“百首电脑选歌”演唱测试合格者”。 因为每个人未被最终淘汰的概率为0.5+(1-0.5)×0.8=0.9， 所以
，故至少一人被最终淘汰的概率
。
19. 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿
虚线l1，l2裁剪成A，B，C【题文】
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为（1）求椭圆的标准方程； （2）设点Q满足：
的短轴端点，P是
时，线段PB1的长为
．
．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
参考答案：
设
，
．
（1）在
中，令
，得
，从而b ? …… 2分
由 得．
所以
． 因为，
所以
，解得
．
所以椭圆的标准方程为
． （2）方法一：
直线PB1的斜率为，
由所以直线QB1的斜率为．
于是直线QB1的方程为：
3．
…… 4分
…… 6分
．
同理，QB2的方程为：
． …… 8分
联立两直线方程，消去y，得
． …… 10分
因为
．
所以
在椭圆上，所以，从而
．
…… 12分 所以
．
…… 14分 方法二：
设直线PB1，PB2的斜率为k， 由 将
，则直线PB1的方程为
．
，
，从而
．……
．
直线QB1的方程为代入
，得
因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以8分
因为在椭圆上，所以，从而
．
所以
． …… 10分
由
，所以直线
，得
的方程为．
联立 则，即
． …… 12分
所以
．
…… 14分 20. （本题满分14分）
已知数列中，
（1）求证：数列（2）若
是数列
是等比数列； 的前n项和，求满足
的所有正整数n.
参考答案：
（1）证明略；（2）1和2.
试题分析：（1）证明一个数列是否为等比数列的基本方法有两种：一是定义法：证明
；二是等比中项法，证明，若证明一个数列不是等比数列，则只
需举出反例即可；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；等比数列基本量的求解是等比
数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程.
试题解析：（1）设，
因为==,
所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列. ……… 5分
（2）由（Ⅰ）得，即，
由，得，
所以
，
…………………….11分
显然当
时，
单调递减，
又当时，＞0，当时，＜0，所以当时，＜0；
，
同理，当且仅当
时，
＞0，
综上，满足的所有正整数为1和2．…………………………………… 14分
考点：1、判断数列是否等比数列；2、等差数列、等比数列的前项和公式.
21. 函数 （1）如果函数 （2）如果函数参考答案：
是
．
是偶函数，求
的极大值和极小值；
上的单调函数，求的取值范围．
解析：解： （Ⅰ）∵
是偶函数，∴
.
.
此时
令
，解得：
，.
，
列表如下：
(－∞,－2+ ) －20 (－2,2－ 递减 ) 20 (2,+∞) + 递增 递增 极大值 极小值 可知：
的极大值为
. 分
，
的极小值为
（Ⅱ）∵ ，
令
解得：
这时∴ 函数
.
恒成立， 在
上为单调递增函数.
综上，的取值范围是
22. 已知命题：任意若“
或为真”，“
，有
.
，命题：存在
，使得
.
且为假”，求实数的取值范围．
参考答案：
【知识点】复合命题的真假．L4 【答案解析】-1≤a≤1或a＞3 解析：p真，任意
，有
，即
在
恒成立，
，
则a≤1 …（2分） q真，则△=（a-1）2-4＞0,即a＞3或a＜-1 …（4分）
∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p,q中必有一个为真,另一个为假…当p真q假
时，有得-1≤a≤1 …（8分）
当p假q真时，有得a＞3
∴实数a的取值范围为-1≤a≤1或a＞3 …（12分）
【思路点拨】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真假得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的范围．
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