一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3分）﹣2019的绝对值是（ ） A．2019
B．﹣2019
C．
D．﹣
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．3x﹣2x＝1 C．x•x＝x
3
2
6
B．x÷x＝x D．x+y＝（x+y）
2
2
2
32
3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° 5．（3分）函数y＝A．x≠0
B．25°
C．30°
D．50°
中，自变量x的取值范围是（ ） B．x＞﹣2
C．x＞0
D．x≥﹣2且x≠0
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲＝1.2，S乙＝1.1，S丙＝0.6，S丁＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2
2
2
2
7．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不
动点．如果二次函数y＝x+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ） A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
2
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝ ．
10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为 ． 11．（4分）分别写有数字、
、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意
抽取一张，抽到无理数的概率是 ．
12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ． 13．（4分）分式方程
的解为x＝ ．
2
14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）﹣2（x﹣3）+1的值为 ．
15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①AM平分∠CAB； ②AM＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则
的长为
．
；
2
④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝
三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（
﹣1）﹣2sin30°+（）+（﹣1）
0
﹣1
2019
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
19．（8分）如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点． （1）求m的值． （2）求k的取值范围．
20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩． （1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要
求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 74.5～79.5 79.5～84.5 84.5～89.5 89.5～94.5 94.5～99.5
频数 2
频率 0.05 0.2 0.3
m
12 14 4
n
0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ； （2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点
D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°
≈1.9）
（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示） （2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．
23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN． （1）如图1，求证：BE＝BF；
（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形
PMQN的周长；
（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）
24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧） （1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax+bx+4经过A'、
22
B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，
连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以
A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019． 故选：A．
2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；
B、x÷x＝x，正确；
C、x•x＝x，故此选项错误；
3
2
5
32
D、x+2xy+y＝（x+y），故此选项错误；
故选：B．
3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；
222
B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意； C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意； D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°， ∴∠ABE＝∠EBC＝25°， ∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°． 故选：B．
5．【解答】解：根据题意得：解得：x≥﹣2且x≠0． 故选：D．
6．【解答】解：∵S甲＝1.2，S乙＝1.1，S丙＝0.6，S丁＝0.9， ∴S丙＜S丁＜S乙＜S甲， ∴射击成绩最稳定的是丙， 故选：C．
2
2
2
2
2
2
2
2
，
7．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题； D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：A．
8．【解答】解：由题意知二次函数y＝x+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x+2x+c＝
2
2
x的两个实数根，
且x1＜1＜x2， 整理，得：x+x+c＝0， 则
．
2
解得c＜﹣2， 故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）． 故答案是：a（x﹣y）．
10．【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×10． 故答案为：6×10． 11．【解答】解：∵写有数字、π是无理数，
∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：． 故答案为：．
12．【解答】解：设多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180°＝360°， 解得：n＝4， 故答案为：4．
13．【解答】解：方程两边同乘x（x+1）， 得x+1＝2x， 解得x＝1．
、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，
、
5
5
将x＝1代入x（x+1）＝2≠0． 所以x＝1是原方程的解． 14．【解答】解：∵x﹣3＝2，
∴代数式（x﹣3）﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1） ＝（2﹣1） ＝1． 故答案为：1．
15．【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
2
2
2
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝
，
尺．
即该女子第一天织布故答案为：
．
16．【解答】解：连接OM，
∵PE为⊙O的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确； ∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴
2
，
∴AM＝AC•AB，故②正确； ∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴
的长为
，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC， ∴BD∥AC， ∴∴PB＝∴
， ， ，BD＝
，
∴PB＝OB＝OA， ∴在Rt△OMP中，OM＝∴∠OPM＝30°， ∴PM＝2
，
，故④正确．
＝2，
∴CM＝DM＝DP＝
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：原式＝1﹣2×+3﹣1 ＝1﹣1+3﹣1 ＝2．
18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2．
19．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1）， ∴m＝2×1＝2；
（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点， ∴＝kx﹣4，整理为：kx﹣4x﹣2＝0， ∴△＝（﹣4）﹣4k•（﹣2）＞0， ∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．
20．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩， 由题意，得x+（600+x）＝1200 解得x＝300． 则600+x＝900．
答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩， 由题意，得y≤（300﹣y）． 解得 y≤75．
故休闲小广场总面积最多为75亩． 答：休闲小广场总面积最多为75亩．
21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35， 故答案为：8，0.35；
（2）补全图形如下：
2
2
，
（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内， 故答案为：89.5～94.5．
（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为
＝．
22．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形， ∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5， ∴GH＝0.2，
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝
，
则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a， ∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2， 在Rt△ACG中，∠ACG＝45°， ∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2， ∴BD＝1.9a﹣0.2，
答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；
（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52， 解得，a＝18，
则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4， ∴AB＝AG+GB＝36.1，
答：慈氏塔的高度AB为36.1米． 23．【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．
（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．
∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝
＝
，
∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，
∵BE＝BF， ∴PM+PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2
（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．
．
∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝
，
∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，
∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝
．
．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝24．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4） 当y＝﹣2时，x+x＝﹣2 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
2
2
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS） ∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限 ∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4） ∴OA＝OA'＝
2
∵抛物线F2：y＝ax+bx+4经过点A'、B' ∴
解得：
2
∴抛物线F2解析式为：y＝x﹣3x+4 ∴对称轴为直线：x＝﹣
＝6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM＝6+m，A'M＝（6﹣4）+（m+4）＝m+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M＝90° ∴OA'+A'M＝OM ∴（4
）+m+8m+20＝36+m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解得：m＝﹣2
∴A'M＝
∴S△OA'M＝OA'•A'M＝
＝8
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似． ∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣x
解得：（即为点B'）
∴C（8，﹣4） ∵A'（4，﹣4） ∴A'C∥x轴，A'C＝4 ∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似 ∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3） ①若△AOD∽△OA'C，则∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4） ②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝
＝1
OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
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