南郊区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A．

πR3

B．

πR3

C．

πR3

D．

πR3

2． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）

A．12+ B．12+23π C．12+24π D．12+π

3． 已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域 上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）

A．5

B．3 C．2 D．

4． 已知Py）（x，为区域A．6

B．0

C．2

D．2

z=2x﹣y的最大值是 内的任意一点，当该区域的面积为4时，（ ）

5． 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B．1 C． D．

6． 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（ ）

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A． B． C． D．2

7． 已知A,B是球O的球面上两点，AOB60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为183，则球O的体积为（ ）

A．81 B．128 C．144 D．288

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．

8． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（ ）

A．5

B．4 C．4 D．2

9． 函数f（x）=有且只有一个零点时，a的取值范围是（ ）

A．a≤0 B．0＜a＜ C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1

10．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）

A．3条 B．2条 C．1条 D．0条

11．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）

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A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4

12．方程x= 所表示的曲线是（ ） A．双曲线 C．双曲线的一部分

B．椭圆

D．椭圆的一部分

二、填空题

13．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，BC=4，AA1=3，沿该长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．

14．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 ．

的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都

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16．

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称． 17．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；

②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；

④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．

18．方程（x+y﹣1）

=0所表示的曲线是 ．

三、解答题

19．∠ABC=如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点． （Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

OA⊥底面ABCD，OA=2，，

20．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（1）若函数（2）求函数

在区间的极值；

（

,是自然对数的底数）.

上是单调减函数,求实数的取值范围；

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（3）设函数

图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．

21．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程． 22．函数

。定义数列如下：是过两点的直线

与轴交点的横坐标。 （1）证明：（2）求数列

23．已知函数f（x0=

．

；

的通项公式。

（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；

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（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．

24．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．

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南郊区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A

2． 【答案】C

【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为

S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×=12+24π． 故选：C．

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．

3． 【答案】D 【解析】解：不等式组

表示的平面区域如图，

﹣π×）+×8π]

，所以V=

结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离， 即|AM|min=故选：D．

．

【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．

4． 【答案】A

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解析：解：由作出可行域如图，

由图可得A（a，﹣a），B（a，a）， 由

∴A（2，﹣2），

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A． 5． 【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．

6． 【答案】B

2

【解析】解：抛物线y=4x的准线l：x=﹣1．

，得a=2．

，

，

=2

∵|AF|=3，

=

．

∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3

∴1+xA=3 ∴xA=2， ∴yA=±2

，

∴△AOF的面积为故选：B．

【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．

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7． 【答案】D

【解析】当OC平面AOB平面时，三棱锥OABC的体积最大，且此时OC为球的半径．设球的半径为R，则由题意，得8． 【答案】 D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，

设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4， 则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时， PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0）， ∴|PE|min=故选：D．

=2

．

114R2sin60R183，解得R6，所以球的体积为R3288，故选D． 323

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

9． 【答案】D

【解析】解：∵f（1）=lg1=0， ∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，

xx

故﹣2+a＞0或﹣2+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立， xx

即a＞2，或a＜2在（﹣∞，0]上恒成立，

故a＞1或a≤0；

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故选D．

【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．

10．【答案】C 【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线l的方程为：则

．

，

即2a﹣2b=ab

直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8， 即ab=﹣16， 联立

，

，

解得：a=﹣4，b=4． ∴直线l的方程为：即x﹣y+4=0， 故选：C

即这样的直线有且只有一条，

【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

11．【答案】 C

【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0

第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k＞5？ 故答案选C．

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【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

12．【答案】C 【解析】解：x=故选C．

22

两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），

表示的曲线为双曲线的一部分；

【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．

二、填空题

13．【答案】 114 ．

【解析】解：根据题目要求得出：

当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114． 故答案为：114

【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．

14．【答案】

．

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．

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则+x+y+=3+，

化为：x+y=3．

22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

15．【答案】 2 ．

【解析】解：如图所示， 连接A1C1，B1D1，相交于点O． 则点O为球心，OA=

．

x．

+x2=

，

设正方体的边长为x，则A1O=

在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：解得x=

．

∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=故答案为：2

．

=2．

16．【答案】

＞0，

x

【解析】解：∵f（x）=ag（x）（a＞0且a≠1），

∴

=ax，

又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）， ∴（∴

）′==ax是增函数，

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∴a＞1， ∵

+

=．

11

∴a+a﹣=，解得a=或a=2．

综上得a=2． ∴数列{∵数列{

}为{2n}．

}的前n项和大于62，

23n

∴2+2+2+…+2==2n+1﹣2＞62，

即2

n+1

6

＞64=2，

∴n+1＞6，解得n＞5． ∴n的最小值为6． 故答案为：6．

【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．

17．【答案】 ①③④

【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，

当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，

③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴

在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为

，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，

④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，

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故答案为：①③④

18．【答案】 两条射线和一个圆 ．

22

【解析】解：由题意可得x+y﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分． 由方程（x+y﹣1）

=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆， 故答案为：两条射线和一个圆．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE ∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作AP⊥CD于P，连接MP ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP

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∵，∴，

，

∴

所以AB与MD所成角的大小为．

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q， ∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离， ∵

，

，

∴

，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系： A（0，0，0），B（1，0，0），，

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1）

，

，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，

•

=0 即

取，解得 ∵

•

=（

，

，﹣1）•（0，4，

）=0，

∴MN∥平面OCD．

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，

（2）设AB与MD所成的角为θ， ∵∴∴

，AB与MD所成角的大小为

， ． 在向量

=（0，4，

=

）上的投影的绝对值，

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为由

所以点B到平面OCD的距离为

．

，得d=

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．

20．【答案】（1）

（2）见解析（3）

在区间

上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函

【解析】试题分析：（1）由题意转化为

数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数

的导函数

，

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则又

在区间，所以

上恒成立，且等号不恒成立，

在区间

上恒成立，

记（2）由①当所以函数所以函数②当所以函数所以函数综上可知: 当 当（3）设切点为

时，有

在在时，有

在在

，只需， 即，得

；

单调递增，

，

，解得．

，

单调递减，

，没有极小值．

取得极大值

；

单调递减，取得极小值时，函数时，函数

， 在在

，

单调递增，

，没有极大值． 取得极大值取得极小值

，没有极小值； ，没有极大值． ，

，其在轴上的截距不存在．

则曲线在点处的切线方程为当当

时，切线的方程为时，令

，得切线在轴上的截距为

，

当

时，

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，

当且仅当当

时，

，即或时取等号；

，

当且仅当，即或时取等号.

.

所以切线在轴上的截距范围是

点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求论.

（3）已知极值求参数.若函数反.

21．【答案】

【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去； 当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a﹣2=

，解得a=2或a=0；

，0）．

在点

处取得极值，则

，且在该点左、右两侧的导数值符号相

→求方程

的根→列表检验

在

的根的附近两侧的符号→下结

（2）∵A（﹣2，4），B（4，0）， ∴线段AB的中点C坐标为（1，2）． 又∵|AB|=

∴所求圆的半径r=|AB|=

．

，

22

因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）+（y﹣2）=13．

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22．【答案】 【解析】（1）为

，可知，直线

直线

的直线方程为

，故点

在函数

的图像上，故由所给出的两点

斜率一定存在。故有

，令

，可求得

所以

时，

下面用数学归纳法证明当假设

时，时，

，满足

成立，则当

23．【答案】

【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得

或，

解得x≤﹣1或≤x≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪ [，

]．

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【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．

24．【答案】 【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n）， 则线段A′A的中点B（

，

），

﹣

﹣1=0 ①．

由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故 2×

再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得 解①②做成的方程组可得： m=﹣

，n=，

，）．

×=﹣1 ②，

故点A′的坐标为（﹣

【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．

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