最新平面向量的数量积教案;

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教材分析：

教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。

向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。

教材例一是对数量积含义的直接应用。 二、学情分析：

前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。 三、三维目标： (一)知识与技能

1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。

2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比

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与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。 (二)过程与方法

1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。 （三）情感态度价值观

1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。

2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 四、教学重难点：

1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 五、教具准备：多媒体、三角板 六、课时安排：1课时 七、教学过程：

（一）创设问题情景，引出新课

问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义

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（二）新课：

1、探究一：数量积的概念

展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型

背景的第一次分析：

问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？

答：实际上是力F在位移方向上的分力，即FCOS,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图

定义：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

2、背景的第二次分析：

问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

wFSCOS分析：用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力

的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？

平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b = |a||b|cos（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数

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量积为0.

注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

3、向量的数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 八、练习设计：

例1 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角=60，求a·b

解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值）

1a·b=|a||b|cos=5×4×cos60=5×4×=10

2练习1已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，①a与b的夹角为60，②a与b的夹角=0，求a·b；

0解：由向量的数量积公式得：

1①a·b=|a||b|cos=8×6×cos60=8×6×=24

2①a·b=|a||b|cos=8×6×cos0=8×6×1=48

归纳总结：由特殊到一般的数学思想得到：

性质（1） 当a与b同向时，a·b = ab；

b和aa 练习2已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，当a与b的夹角为90时，求a·

0

解：根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得：

①a·b=|a||b|cos=1×2×cos0=1×2×1=2

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 ②a·a=|a||b|cos =1×1×cos0=1×1×1=1

1、已知a12,b2,a与b的夹角为30，求a•b;归纳总结：⑵特别地aa常记作a，这时a = a ；

22022、已知a25,b4,a与b的夹角为45求a•b; ⑶a⊥b  a·b= 0 ；

0练习4：

九、课堂小结：“1+3”

一个概念：数量积的定义a·b = |a||b|cos 三个性质：

1、当a与b同向时，a·b = ab； 2、特别地aa常记作a，这时a = a； 3、a⊥b  a·b= 0 ； 作业： 基础作业：

课本109页 练习A，2，练习B，1、2 课后思考：向量的数量积运算满足哪些运算律？ 十、板书设计

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 1、投影 2、向量的数量积公式 3、向量数量积的性质 例1 222 十一、教学反思

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