椭圆离心率求法总结

椭圆离心率的解法

一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆｜PF｜｜QF｜｜AO｜

上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④

｜PD｜｜BF｜｜BO｜｜AF｜｜FO｜

e=⑤e= ｜BA｜｜AO｜

D B A P Q F O 评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 a2

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= c∴有③。

x2 y2

题目1：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

A B FF

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c

c

c+3c=2a ∴e= a =

3-1

x2 y2

变形1：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角

P FOF1 形，求椭圆离心率？

解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1

x2 y2

变形2: 椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

P B F1 O F2 A

b2

解：∵｜PF1｜= a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a ｜PF1｜ b

PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b=

｜F2 F1｜a 5

∴a2=5c2 e=5

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形

x2 y2

题目2：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?

a2-c2

B A O F

解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 -1+5 -1-5

e2+e-1=0 e=2 e=2(舍去)

x2 y2 -1+5

变形：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)，e=2, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°

5-1

引申：此类e=2的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。

x2 y2

题目3：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?

解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m

：2a-c1a2 –c2=m(2a-c)2 两式相除 =e=在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得： 2a+c2 3  2(a2-c2)=m(2a+c) x2 y2

题目4：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 ｜F1F2｜｜F1P｜｜PF2｜

解：由正弦定理：sin F1PF2 = sin F1F2P = sin PF1F2 根据和比性质：

｜F1F2｜｜F1P｜+｜PF2｜

= sin F1PF2 sinF1F2P+sin PF1F2 变形得： 2c

=2a =e

∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° sin90°6e= =3 sin75°+sin15°

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 sin F1PF2

e=sin F1F2P +sin PF1F2 x2 y2

变形1：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α sin60° sin F1PF2

e=sin F1F2P +sin PF1F2 ==

sinα+sin(120°-α)

1 11

≥2 ∴2≤e<1

2sin(α+30°)

x2y2

变形2：已知椭圆4+ 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长αβ11

轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若3 α+βα+β 2sin 2 cos 2

sin(α+β)sin F1PF2

解;根据上题结论e=sin F1F2P +sin PF1F2 = =

sinα+sinβ α+βα-β

2sin 2 cos 2 α β α β cos 2cos 2 -sin 2 sin 2 = α β α β cos 2cos 2 +sin 2 sin 2

｜F1F2｜ sin F1PF2

=sin F1F2P +sin PF1F2 =

｜PF2｜+｜F1P｜

α β1- tan 2 tan 2 ==e

α β

1- tan 2 tan 2 11-e 111∵3< 1+e <2 ∴3三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式. x2 y2

题目5：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，

A(X1,Y1) O B(X2,Y2) →→→

OA+OB与 a=(3,-1)共线，求e?法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)

b2x2+a2y2=a2b2

 y=x-c

(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 2a2c2a2c-2b2c

x1+x2=a2+b2 y1+y2=a2+b2-2c=a2+b2 →→

OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 6

-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=3 →→→

法二：设AB的中点N，则2ON=OA+OB

a2+ b2 =1 ①

① -② 得： x22y22

a2+ b2 =1 ②

y1-y2b2x1 +x2 b26

=- ∴1=- (-3) 既a2=3b2 e=x1-x2 a2 y1+y2a2 3 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。

x2 y2 →→

题目6：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足MF1·MF2 =0的点

x12y12

M总在椭圆内部，则e的取值范围？

M F1 O F2

→→

分析：∵MF1·MF2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。 解：∴c2

a2=b2+c2 >2c2 ∴0题目7：椭圆a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？

P M F1 O F2

分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e a2

c -c

a2y0

解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(c ,y0 ) M( 2 ,2 )

b2y0 a2→

既(2c , 2 ) 则PF1 =-( c +c, y0 ) b2y0 →→→

MF2 =-( PF1·MF2 =0 -c, ) 2c 2 a2 b2y0 ( c +c, y0 ) ·( 2c -c, 2 )=0 a2 b2y02 ( c +c)·( 2c -c)+ 2 =0 3

a2-3c2≤0 ∴3≤e<1 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c

a2a2a2

｜PF2｜≥c -c 则2c≥c -c 3c≥c 3

3c2≥a2 则3≤e<1

x2y2设椭圆221（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使

abF1PF290，求离心率e的取值范围。

解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知F1（c，0），F2（c，0），则

F1P(xc，y)，F2P(xc，y)由F1PF290，知F1PF2P， 则F1PF2P0，

即(xc)(xc)y20得x2y2c2 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

a2c2a2b2xa2b2但由椭圆范围及F1PF2902知0xa22

a2c2a2b2即0a222ab

可得c2b2，即c2a2c2，且c2a2 从而得ec2c，且e1a2a2所以e[，1）2

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

|PF1||PF2|2a|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2|4a2

又由F1PF290，知

|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2则可得|PF1||PF2|2(a2c2)这样，|PF1|与|PF2|是方程u22au2(a2c2)0的两个实根，因此4a28(a2c2)0

c21 e22a2e22

因此e[2，1) 2 解法3：利用三角函数有界性

记PF1F2，PF2F1，由正弦定理有

|PF1||PF2||F1F2|sinsinsin90|PF1||PF2||F1F2|sinsin又|PF1||PF2|2a，|F1F2|2c，则有ec1asinsin12sin12cos

2cos22

而0||90||452 2 cos1222从而可得e12知0

解法4：利用焦半径 由焦半径公式得

|PF1|aex，|PF2|aex又由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以有 a2cxexa2cxex4c222222222222

2c2a2即aex2c，xe2又点P（x，y）在椭圆上，且xa，则知0x2a2，即2c2a20a22e

2得e[，1）2 解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有2a|PF1||PF2| 平方后得

PF2|2(|PF1||PF2|)2|F1F2|8c 4a|PF1||PF2|2|PF1||22222222c21，1） 得2 所以有e[22a 解法6：巧用图形的几何特性

由F1PF290，知点P在以|F1F2|2c为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P

故有cbcbac

2222离心率的五种求法

椭圆的离心率0e1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1．

一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ec来解决。 ax22例1：已知双曲线2y21（a0）的一条准线与抛物线y6x的准线重合，则该

a双曲线的离心率为（ ）

A.

32336 B. C. D.

232223a2c213解：抛物线y6x的准线是x，即双曲线的右准线x，则

2cc22c23c20，解得c2，a3，ec23，故选D a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0、F23,0，则其离心率为（ ）

A.

3211 B. C. D. 4324∴c1，∴ac1，ac3，解：由F11,0、F23,0知 2c31，又∵椭圆过原点，∴a2，c1，所以离心率ec1.故选C. a2变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

363 B. C. D 2 222解：由题设a2，2c6，则c3，ec3，因此选C a2x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆221（ab0）的左准线上，过点P且方向

ab为a2,5的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

1132 B C D 3232解：由题意知，入射光线为y15x3，关于y2的反射光线（对称关系）为2

a2c33解得a3，c1，则e，故选A 5x2y50，则ca35c501.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

3 22.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

2 23.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为

1 21。 24.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

x2y25.若椭圆221,(ab0)短轴端点为P满足PF1PF2，则椭圆的离心率为

abe2。 23x2y2126..已知1(m0.n0)则当mn取得最小值时，椭圆221的的离心率为

2mnmnx2y27.椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若

ab21MN≤F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是， 28.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e2。 2x2y29.P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知PF1F2,PF2F12,

abF1PF23,椭圆的离心率为e31

10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若PF1F215,PF2F175， 则

椭圆的离心率为

6 311.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2 2x2y212.设椭圆22=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦

ab的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

1。 2x2y213.椭圆221（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于

ab61∣AF∣，则椭圆的离心率是。

32x2y214.椭圆221（a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过

ab焦点，则椭圆的离心率是

51 2x2y215.已知直线L过椭圆221（a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L

ab的距离为

6a，则椭圆的离心率是

32x2y216.在平面直角坐标系中，椭圆221( ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径

aba22,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=作圆，过点

2c二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正

ab三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 423 B.

31 C.

31 D. 231

解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为c，由焦半径公式2PF1expa，

2cccc即ca，得220，解得 a2aaec13（13舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线221（0ab）的半焦距为c，直线L过a,0，0,b两

ab点.已知原点到直线的距离为

3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2 B. 3 C. 2 D.

23 3解：由已知，直线L的方程为bxayab0，由点到直线的距离公式，得

aba2b23c， 43c2,两边平方，得16a2c2a23c4，整理得

222又cab, ∴4ab3e416e2160，

c2a2b2b242212e4，得e4或e，又0ab ，∴e2，∴22aaa322∴e2，故选A

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ）

0

A

3 B

663 C D 233解：如图所示，不妨设M0,b，F1c,0，F2c,0，则

MF1MF2c2b2，又F1F22c，

在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2

MF1MF2F1F22MF1MF2222,

b2c211c2b2c2b24c2即，∴， 22222bc22cb2a2163222e3a2c∵bca，∴，∴，∴，∴，故选B e22222ca2221．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

3 52．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是31

3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是31

4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等

腰直角三角形，则椭圆的离心率是21

5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是

3 3x2y26．设F1、F2分别是椭圆221ab0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为

ab3c （c 为半焦距）的点，且F1F2F2P，则椭圆的离心率是

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

2 2

解：ec2c2c2ca2aPF1PF222c2c12121

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2例4：设椭圆221（a0,b0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1ab且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

.

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵ADl1于D，∴AD为F1到准线l1的

1ABAF112 距离，根据椭圆的第二定义，eADAD2变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A

2 B

122 C D

224解：eAF2AD222 12五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,2) 22．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF290，椭圆离心率e的

2,1取值范围为 23．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260，椭圆离心率e的取值范围为,1

12x2y24．设椭圆221（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，

ab

椭圆离心率e的取值范围为

6e1 35．在△ABC中，ABBC，cosB圆的离心率e7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭183． 8x2y26．设F1，F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,

ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是

配套练习

3 ，13x2y21. 设双曲线221（a0,b0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线

aby24x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

x2y21 A.

1224x2y2136

x2y21 B.

4896x22y21 C. 33D.

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A．

1 3B．

3 3 C．

1 2 D．

3 2x2y243．已知双曲线221的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（ ）

3abA

5435 B C D 33244．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该

椭圆的离心率为A

2 B

221 C D 2425．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为双曲线的离心率为（ ）

1，则该2A

2 B 2 C 22 D 22

x2y26．如图，F1和F2分别是双曲线221（a0,b0）的两个焦点，A和B是以Oab为圆心，以OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A

3

B

5 C

5 2 D

31

x2y27. 设F1、F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐

ab标为3c（c为半焦距）的点，且F1F2F2P，则椭圆的离心率是（ ）

A

311 B C 22512 D 22x2y28．设F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使

abF1AF2900，且AF13AF2，则双曲线离心率为（ ）

A

5 2 B

10 2 C

15 2 D

5

x2y209．已知双曲线221（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的

ab直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A 1,2 B 1,2 C 2, D 2,

x2y210．椭圆221（ab0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、

abN，若MN2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

1A．0,

2

2B．0,2 1 C．,1

22D．,1 2ca2答案：1.由3,1可得a3,b6,c3.故选D

ca2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ a2b，椭圆的离心率ec3，选D。 a2b4c32425,故选A 3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,可得ea3a33x2y22b2a22且c1，据此求出e＝4.不妨设椭圆方程为221（ab0），则有

abac2 2x2y22b2a212且c，据此解5.不妨设双曲线方程为221（a0，b0），则有

abac2得e＝2，选C

x2r26.解析：如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，A和B是以Oab为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a(31)c，双曲线的离心率为13，选D。

7.由已知

a2a2,3c），所以2c(c)2(3c)2P（ccc2 a2．

化简得

a22c20ex2y28.设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，

ab且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a|AF1||AF2|2，

2c|AF1|2|AF2|210，∴ 离心率e10，选B。 2x2y29.双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线

ab的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

222cab3，离心率e2=2≥4，∴ e≥2，选C

aa2bb，∴ ≥aax2y210.椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，

aba2a222c若|MN|2，|F1F2|2c，MN≤F，则，该椭圆离心率e≥，选F122ccD