大题专项训练6：三角函数与解三角形(综合练习二)-2021届高三数学二轮复习

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

．

（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；

（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由．

2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；

（2）若c＝2，且BC边上的中线长为

3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣象过坐标原点． （1）求ω、φ的值；

（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求

的值． ＜φ＜

）最小正周期为2π，且f（x）的图

，求b．

acosC﹣csinA＝

b．

4．已知在△ABC中，

sin（A+B）＝1+2sin2．

（1）求角C的大小；

（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．

5．已知f（x）＝cos2x﹣1+

sinxcosx，x∈R．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值． 6.已知函数

的最小值为﹣2，其图象经

．

过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．

上有且仅有两个实数根x1，x2，

17．已知函数f(x)sinxsin(x)cos2(x)．

6122（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；

B3（2）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(),b3，

22求acosBbcosC的取值范围．

8．已知函数f（x）＝4cosωxsin（ωx+φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线称，且两相邻对称中心之间的距离为

．

对

（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围及x1+x2的值．

二题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案

1.解：（1）若a，b，c成等差数列， 所以a+c＝2b， 由于

．

所以cosB＝＝，

由于，

所以．

（2）假设B为直角， 则sinB＝1， sinC＝cosA， 由于

，

根据正弦定理（sinA+sinC）sinB＝，

即sinA+cosA＝，

上式两边平方得：，

所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0， 由于0＜sin2A≤1，

所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0， 与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾， 故不存在△ABC满足B为直角． 2.解：（1）因为

acosC﹣csinA＝

b，由正弦定理可得

sinAcosC﹣sinCsinA＝

sinB，

因为B＝π﹣A﹣C， 所以

sinAcosC﹣sinCsinA＝

sinAcosC+

cosAsinC，

cosA，可得tanA＝﹣

，

可得﹣sinCsinA＝cosAsinC，因为sinC≠0，所以sinA＝﹣

．

又因为A∈（0，π），可得A＝

（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+4+2b，①

又在△ABC中，cosB＝＝，设BC的中点为D，

在△ABD中，cosB＝＝，可得＝

，可得a2+4

﹣2b2＝0，②

由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4． 3.解：（1）依题意，得

，ω＝1．

故f（x）＝sin（x+φ）．

因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0， 即sinφ＝0，∵﹣

＜φ＜

，∴φ＝0．

（2）由（1）知f（x）＝sinx，

因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4）， 所以2sin2B+3sin2C＝2sinAsinBsinC+sin2A， 由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sinA•bc+a2， 又a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴

＝

，

又，

∴sinA﹣cosA＝，且b＝，∴A＝．

∴＝＝．

4.解：（1）∵

sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，

∴sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即

）＝2．

sinC+cosC＝2，

∴2sin（C+

∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．

（2）∵△ABC的外接圆半径为2，

∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，

∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，

∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI+∠BAI＝

，∴∠AIB＝

，

设∠ABI＝θ，则∠BAI＝

﹣θ，且0＜θ＜

，

在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，

∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，

∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ

＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，

∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，

∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，

故△ABI的周长的最大值为4+25.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+

．

sinxcosx＝cos2x﹣+

sin2x＝sin（2x+

）﹣，

令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．

（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，

∵A∈（0，π），∴A＝，

∵ccosB+bcosC＝1，

∴c•+b•

＝1，即a2＝a，

∵a≠0，∴a＝1，

由正弦定理知，＝＝＝＝，

∴b＝sinB，c＝sinC，

∴bc＝sinBsinC＝sinBsin（+B）＝sinB（cosB+sinB）

＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，

∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，

∴△ABC的面积S＝bcsinA≤×1×sin＝，

故△ABC的面积的最大值为．

6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．

∴T＝π，．

∴f（x）＝2sin（2x+φ）．

又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1． 由

，得

．

∴．

（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在x2，

即函数y＝f（x）与y＝k的图象在

上有且仅有两个实数根x1，

上有且仅有两个交点．

由（Ⅰ）知．令，则y＝2sint．

∵，

∴．

则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为

．

①当k∈[1，2）时，t1，t2，关于

对称，则

．

解得．

②当时，t1，．

t2关于对称，则

解得．

综上，实数k的取值范围为

，x1+x2的值为或．

17.解：（1）由题意可得f(x)sinxsin(x)cos2(x)

6122sinx(311sinxcosx)cos(2x) 22263(1cos2x)131sin2xcos2xsin2x

444413， sin2x24所以函数f(x)的最小正周期T2， 2令

22k2x332k，kZ，解得kxk，kZ， 2443故函数f(x)的单调递减区间为[k，k]，kZ．

44B1333（2）由（1）知f()sinB，解得sinB， 22242因为B(0,)，所以B，

23由正弦定理可知

abcsinAsinBsinC3322，则a2sinA，c2sinC，

所

acosBbcosC以

a33313cosCsinA3cos(A)sinA3cos(A)sinAcosAsinAcosAsinAcos(A)23322226，

AC230A,在锐角ABC中，可得2可得A，

620C2因此

3A6211，则cos(A)(，)， 362211故acosBbcosC的取值范围为(，)．

228.解：（Ⅰ）f（x）＝4cosωxsin（ωx+φ）﹣1 ＝4cosωx（sinωxcosφ+cosωxsinφ）﹣1 ＝4sinωxcosωxcosφ+4cos2ωxsinφ﹣1 ＝2sin2ωxcosφ+2（1+cos2ωx）sinφ﹣1 ＝2sin2ωxcosφ+2cos2ωxsinφ+2sinφ﹣1 ＝2sin（2ωx+φ）+2sinφ﹣1， 因为两相邻对称中心之间的距离为

，

所以函数f（x）的周期为π，则，

所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1， 又f（x）的图象关于直线

对称，

所以有φ＝，

解得φ＝，

因为0＜φ＜π， 所以φ＝

，

故，

令，解得，

所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；

（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2， 即当x∈[0，π]时，方程

＝有两个不同的根x1，x2，

令t＝，则t∈，

所以方程sint＝在

上有两个不同的根t1，t2，

作出函数的图象如图所示， ①当

，即1＜b＜2时，y＝与y＝sint有两个交点，

则t1+t2＝，即，解得；

②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sint有两个交点，

则t1+t2＝，即，解得；

综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．