高三数学一轮复习第三章 三角函数、解三角形 (5)

配餐作业(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和

正切公式

一、选择题

1．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) 1

A.2 1C．－2

3B.2 3

D．－2

解析：cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°1＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝2，故选A。

答案：A

ππ

2．(2016·哈122中学期末)已知α∈0，2，β∈－2，0，且βπ1πβ3

cos4＋α＝3，cos4－2＝3，则cosα＋2＝( ) 

3A.3 53C.9

3

B．－3 6

D．－9

ππ3ππ

解析：∵α∈0，2，∴4＋α∈4，4。



π1又∵cos4＋α＝3， π

∴sin4＋α＝

π22

1－cos4＋α＝3。



2

πβπ

∵β∈－2，0，∴2∈－4，0， 

πβππ∴4－2∈4，2。





πβ3－又∵cos42＝3， 

1

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πβ∴sin4－2＝



πβ6

1－cos4－2＝3。 

2

βππβππβ

∴cosα＋2＝cos4＋α－4－2＝cos4＋αcos4－2＋



ππβ1322653

sin4＋αsin4－2＝3×3＋3×3＝9，故选C。 

答案：C

π1π3．(2016·山西四校联考)已知sin2＋α＝2，－2＜α＜0，则



π

cosα－3的值是( ) 

1A.2 1C．－2

2B.3 D．1

π1133

解析：由已知得cosα＝2，sinα＝－2，cosα－3＝2cosα＋2sinα

1

＝－2。

答案：C

π，则－α4．(2016·成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos4

sin2α等于( )

1

A.2 2C.2

π， －α解析：∵cos2α＝cos4

1

B．－2 2

D．－2

ππ

∴cosα－sinα＝cos4cosα＋sin4sinα，

2

2

∵α为锐角，

21

∴cosα－sinα＝2，∴sin2α＝2。

2

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答案：A

5．(2016·兰州检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为( )

πA.4 πC.2

πB.3 3πD.4

解析：由题意知，sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除tanB＋tanC以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝＝－1

1－tanBtanCπ

＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝4。

答案：A

11

6．(2016·中山一模)已知cosα＝3，cos(α＋β)＝－3，且α，β∈π

0，，则cos(α－β)的值等于( )

2

1A．－2 1C．－3

1B.2 23D.27

π0，解析：∵α∈2，∴2α∈(0，π)。 172

∵cosα＝3，∴cos2α＝2cosα－1＝－9， 42

∴sin2α＝1－cos2α＝9，

2

π而α，β∈0，2，∴α＋β∈(0，π)， 22

∴sin(α＋β)＝1－cosα＋β＝3，

2

∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)

3

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71422223＝－9×－3＋9×3＝27。 

答案：D 二、填空题

117．已知cos(α＋β)＝6，cos(α－β)＝3，则tanαtanβ的值为________。 1解析：因为cos(α＋β)＝6， 1

所以cosαcosβ－sinαsinβ＝6。① 1

因为cos(α－β)＝3，

1

所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝3。② 1

①＋②得cosαcosβ＝4。 1

②－①得sinαsinβ＝12， sinαsinβ1

所以tanαtanβ＝cosαcosβ＝3。 1答案：3

π4π

8．设α为锐角，若cosα＋6＝5，则sin2α＋12的值为________。









π4

解析：因为α为锐角，cosα＋6＝5，

π3π24

所以sinα＋6＝5，sin2α＋6＝25， π7

cos2α＋6＝25，





πππ

所以sin2α＋12＝sin2α＋6－4

24272172＝25×2－25×2＝50。

4

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172答案：50

ππ

9．化简sin2α－6＋sin2α＋6－sin2α的结果是________。









解析：法一：原式＝π2α－1－cos3

2

＋

π

2α＋1－cos3

2

1

－sinα＝1－2

2

πππcos2α2cos2α－＋cos2α＋－sin2α＝1－cos2α·cos3－sinα＝1－2－331－cos2α1＝2。 2

111法二：令α＝0，则原式＝4＋4＝2。 1答案：2 三、解答题

α2

10．已知函数f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin2x，若f4＝－5，α∈



ππ

，π，求sinα＋的值。

32

解析：f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin2x＝

α12

－cos2xsin2x＝－2sin4x，因为f4＝－5，



α124所以f4＝－2sinα＝－5，故sinα＝5，



π413π33

又α∈2，π，所以cosα＝－5，sinα＋3＝5×2＋－5×2＝

4－33

10。

35π3π3π＋α－β11．若sin4＝，cos4＝，且0＜α＜4＜β＜4π，求135

cos(α＋β)的值。

π3

解析：因为0＜α＜4＜β＜4π，

5

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33ππ

所以4π＜4π＋α＜π，－2＜4－β＜0。

35π3π＋α－β又sin4＝，cos4＝5， 133π124所以cos4π＋α＝－13，sin4－β＝－5，

π

所以cos(α＋β)＝sin2＋α＋β 3π

＝sin4π＋α－4－β









3π3π＝sin4π＋αcos4－β－cos4π＋αsin4－β



33＝－65。

xπx

12．已知函数f(x)＝sin2sin2＋2。

(1)求函数f(x)在[－π，0]上的单调区间。

ππ

(2)已知角α满足α∈0，2，2f(2α)＋4f2－2α＝1，求f(α)的值。









xπx解析：f(x)＝sin2sin2＋2

xx1

＝sin2cos2＝2sinx。

π

(1)函数f(x)的单调递减区间为－π，－2，单调递增区间为



π

－，0。 2

π

(2)2f(2α)＋4f2－2α＝1

π＝1 －2α⇒sin2α＋2sin2

⇒2sinαcosα＋2(cos2α－sin2α)＝1⇒ cos2α＋2sinαcosα－3sin2α＝0 ⇒(cosα＋3sinα)(cosα－sinα)＝0。

6

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π

∵α∈0，2。



π∴cosα－sinα＝0⇒tanα＝1得α＝4， 1π2

∴f(α)＝2sin4＝4。

7