第２３卷第６期 Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．６ 钦州学院学报 ２００８年１２月 Ｄｅｃ．，２００８ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩＮＺＨＯＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ （２＋１）维Ｐ 方程的精确行波解 施业琼 （广西工学院信息与计算科学系，广西柳州５４５００６） ［摘要］ 利用指数函数法，借助于数学软件，取得了（２＋１）维的Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ｋａｄｏｍｔｓｅｖ—Ｐｅｔｖｉａｓｈｖｉｌｉ（ＰＫＰ） 方程新的具有一般形式的精确行波解。 ［关键词］ （２＋１）维Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ｋａｄｏｍｔｓｅｖ—Ｐｅｔｖｉａｓｈｖｉｌｉ（ＰＫＰ）方程；指数函数法；精确行波解 ［中图分类号］０１７５．２９ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７３—８３１４（２００８）０６—００１８—０３ ＝ｕ（ ）， ＝ｋｘ＝Ａｔ， （１．２） ０ 引言 自然科学领域的很多问题的数学模型最终可 归结为非线性演化方程（组）来描述．由于这类 方程的解析解对于洞察这些问题的物理本质具有 很重要的意义，因此寻求非线性演化方程的孤子 解一直是物理学和数学工作者的重点课题。十几 年来，在求解方法方面取得了较好的成果，如反散 射方法、Ｄａｒｂｏｕｘ变换法、齐次平衡法、辅助方程 法，ｔａｎｈ函数法，ｅｘｐ函数法 等。 在文献［７，８］中Ｉｂｒａｈｉｍ Ｅ．Ｉｎａｎ，Ｄｏｇａｎ Ｋａｙａ 以及Ｓｅｎｔｈｉｌｖｅｌａｎ分别用ｔａｎｈ法和改进的ｔａｎｈ法 取得了ＰＫＰ方程的精确行波解，李和张 ’ 用改 其中ｋ和Ａ是参数，把（１．２）式代入（１．１）式 中，（１．１）式可化为一个常微分方程 Ｑ（“，Ｍ，“，Ｕ ，…）＝０ （１．３） 假设方程（１．１）的解可以用如下的形式 ）＝ （１．４） 其中，Ｃ、ｄ、Ｐ和ｑ是待定正整数，ａ 和ｂ 是待 定的常数。为了得到Ｐ、Ｃ、ｇ和ｄ的关系，通过平 衡方程（１．３）的最高阶导数项和最高阶非线性 项，然后将（１．４）代人方程（１．３）中，并令含ｅｘｐ （ ）（其中 ：０，±１，４－２，…）的项的系数为０， 可得到一个代数方程组，通过Ｍａｐｌｅ解这个代数 方程组可求出待定的解的系数ａ ，６ （ｎ＝０，±１， ±２，…；ｍ＝０，±１，±２，…）。 进的齐次平衡法取得了该方程的各种精确行波 解。本文的目的是通过应用何 提出的指数函数 法，寻求ＰＫＰ方程更新更一般形式的精确行波 解。 ２ 应用指数函数法求ＰＫＰ方程的精 确解 下面来考虑（２＋１）维的ＰＫＰ方程： ３ １ 指数函数法的介绍 首先简单介绍指数函数法在求解非线性偏微 分方程中的一般步骤。对于一个给定的非线性偏 微分方程 Ｐ（Ｍ，Ｕｌ，Ｕ ， ，ｕ ，…）＝０ （１，１） ｕ ｆ＋ ｕ ＋ －牡＋ Ｕｘ 船＋ ＿ ｕ ＝０＝ ０ （２．１）（２・ ） 令 （ ，ｔ，Ｙ）＝Ｍ（ ）， ＝ｋ（ ＋ｏｔｔ＋卢 ），代入 方程（２．１）得到常微分方程 ＋ １ ３ ，“ｔｖ＋ ）＋ ＝０ （２．２） 在方程（２．２）两边对 进行积分得： ＇其中 ，ｔ为变量，“为因变量。通过对方程 ａｕ＋ ３（“ ） ＋ １ ＋ 。 ＝０ （１，１）作变换 （２３） ．［收稿日期］２００８—０９—１０ ［基金项目］广西教育厅科研基金项目（０６４００１１，７００７０７ＬＺ２５９），广西科学自然基金项目（桂科自０８３２０６５）。 ［作者简介］施业琼（１９７０一），女，广西灵山人，广西工学院信息与计算科学系讲师，硕士。 第６期 施业琼：（２＋１）维Ｐ 方程的精确行波解 １９ 由指数函数法，ⅡＪ议（２．３）前筚明彤瓦为： ｃ 焉糍告等 ｃ２．４ ： 舞 这里ｃ，ｄ，ｐ和ｑ是未知的正整数．通过计算 （２．３）中的最高阶导数项 和最高阶非线性项 （ ） 简单表示为： “一 ｍ： Ｃ２ｅｘｐ［８ｐ ］… （２．５）… 和 （“ ） ＝ ｅｘｐ［（２ｐ＋２ｃ） ］＋…＋ｅｘｐ［一（２ｄ ４－２ｑ ｅｘｐ（４ｐ￣）＋…＋ｅｘｐ（一４ ） （２．６） 其中ｃ ，Ｃ 为常系数，平衡（２．５）和（２．６）的 最高次项得到： ７ｐ＋ｃ＝６ｐ＋２ｃ （２．７） 由（２．７）得 Ｐ Ｃ 同理，为确定ｑ，ｄ的关系，通过计算，最高阶 导数项 和最高阶非线性项１１２ 简单表示为： …＋Ｃ３ｅｘｐ［一（７ｑ＋ｄ）＋Ｃ４ｅｘｐ［一８ ］ ］ （２．８） …和 ２，Ｃ３ｅｘｐ［一（ｑ＋３ｄ） ］＋… — Ｆ ＝ 上ＩＣ［４ｅｘｐ 一８ ］＋… … ９ 通过平衡最高阶导数项“ 和非线性项（Ｕ ） ， 得到以下关系 一（７ｑ＋ｄ）＝一（６ｑ＋２ｄ） 从而得到ｄ＝ｑ。 简单起见，以Ｐ＝Ｃ＝１和ｑ＝ｄ＝１，则（２．４） 式可表示为 芳筹 （２．１０） 把（２．１０）代人（２．３）中，整理得到关于一个 ｅ （ｉ＝±１，±２，±３）的方程，令ｅ 的各项系数为 零，得到一组关于ａｏ，ａｌ，ａ＿ｌ＇ｂｏ，ｂｌ，ｂ＿ｌ， ，／３，ｋ的 代数方程组（由于方程组太复杂，故在这里省 略），利用Ｍａｐｌｅ对该方程组求解，得到以下几组 解： 情形１： ｂ１（２ｂ０＋ａ０） 一—— ， 一 ：。，６。：６。， ：一丢 一丢，６。＝ｂ０）６＿Ｉ＝０ 此结果代 ２・加 到方程 ・ 的反 扭结波解 扫结 又由ｅ ＝ｃｏｓｈ（ ）＋ｓｉｎｈ（ｓ￣），ｅ一 ＝ｃｏｓｈ（ ）一 ｓｉｎｈ（ ），可将（２．１１）改写为 （一２６ 一百ｂｌａｏ）（１＋ｔａｎ ）＋口。ｓｅｃ （ ）＝ ｂ１（１＋ｔａｎｈ￣：）＋ｂ０ｓｅｃｈ￣： （２．１２） 其中 ＝ 一（ ＋÷）￡＋ ］，６。，６ 是不 为零的任意常数。 情形２： —１＝一—：一 ———— ＿—一，， 。ｏ＝ｕ，ｏ＇６Ｄ。－０，０＝ｕ， ：一寻 ＝一 ＪＢ 一１，ｂｌ＝ｂ１。 将其代入（２．１０）得钟型孤立波解 一。１）一一 ｅ＂ｔ ａｌｅ ＂ ｂ ｌ（ ）＝—— 了一 （２．１３） 由ｅ ＝ｃｏｓｈ（ ）＋ｓｉｎｈ（ ），ｅ一 ＝ｃｏｓｈ（ ）一 ｓｉｎｈ（ ），可将（２．１３）改写为 （ ）＝ ［ｎ 一 Ｌｎ１一————— ＿—一］ｊ ａｎｈ鲁＋Ｌ口ｌ＋ ＋ ＋ ｂ—ｌ（４ｂｌ—ａ１）］ ｂｌ （ｂｌ—ｂ一１）ｔａｎｈ￣：４－（ｂ１＋ｂ一１） （２．１４） 其中 ＝ ［ 一（ ＋１） ＋Ｂｙｌ Ｋ ６ ≠０。 情形３： ６＿ｌ＝一杀２，６。＝０， ＝一扣＋÷，％＝ ６。＝ ６。 ： ，６ｌ： 一 。 ｕ，０ 将其代入（２．１０）得扭结波解： ２６ｌ（２ａ一１ｂＩ＋ａ ） Ｕ（ ）＝ 一 ｅ （２．１５） （２．１５）式可表示为 ［。一１一 Ｌ 一一—————— ———一ｊ＝ ］ＣＯＳ ｎ考十口０一 ．．Ｌａ一１＋ 一十 ａ０ 一嘉 ｓ ＋丢 ］ｓｉ ａｏ （６１—４叠（２．１６） 一 ｂ１）ｃ０ 。 ＋（６一 ＋４ ｂ）ｓｉ呲’ １２０ 钦州学院学报 第２３卷 其中 ＝ （ ＋（一 ＋ １） ＋ ）６ ，些解的待定系数取不同的值，可得到不同的行波 ，。。是不为 解。 零的任意常数。 情形４： ［参考文献］ １ （一ａ—ｌ。０２Ｄ２ｌ＋４ ２‘１ ６ ６—１ —６ｒｚ ［１］谷超豪．孤立子理论与应用［Ｍ］．杭州：浙江科技出版社， １９９０． ｂｏａ０６２＿ｌ一口 ｌｂ ＋２。２＿１ ｂｏ０ｏｂ一１—４ａ一１６。２Ｄ２一ｌ＋４ａ。６ １ Ｅ２］ 谷超豪，胡和生，周子翔．孤立子理论中的达布变换及其几 ｂ０＋２ａ￣ｂＳ ） 何应用［Ｍ］．上海：上海科技出版社，１９９９． ６。＝一 １ １（ ２ ２ａ［３］ Ｗａｎｇ Ｍｉｎｇｌｉａｎｇ．Ｔｈｅ ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｖａｒｉａｎｔ Ｂｏｕｓｓ— 一１啪一 ＋２‰ ２＋ ｉｎｅｓｑ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，１９９５，１９９：１６７—１７２． 口２＿ ６ 一２ａ＿ｉ６０口。 ）， ＝一扣 ＋÷， ［４］ Ｊ．Ｈ．Ｈｅ．Ｘ．Ｈ．Ｗｕ．Ｅｘｐ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ Ｓｏｌｉｔｏｎｓ Ｆｒａｃｔ．２００６，３０：７００—７０８． ａ０：ａ０，ｂｏ＝ｂ０，ｂ—ｌ＝ｂｌ，卢＝／３，ａ—ｌ＝ａ—ｌ。将 ［５］ 刘式适，傅遵涛，刘式达，赵强．Ｊａｃｏｂｉ椭圆函数展开法及其 其代入（２．１０）得奇异型孤子波解： 在求解非线性波动方程中的应用［Ｊ］．物理学报，２００１，５０： ｕ（ ）＝ ２０６８—２０７３． １（－－－［６］ Ｆａｎ Ｅｎｇｕｉ．Ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔａｎｈ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ 。 ＋４。 ６ｒ 。 。 一ｎ ＋ ｔｏ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，２０００，２７７：２１２—２１８． 击（ ２＿１－２ａ＿ｌｂ￣ｂ＿１￣２ａｏｂ２＿ｌｂｏ＋ａ２＿１６－２ａ＿ｌｂｏａｏｂ＿ｊ ＋６０¨ 一 Ｉ．Ｅ．Ｉｎａｎ，Ｄ．Ｋａｙａ．Ｓｏｍｅ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉｌａ ２０２＿ｌｂ０口０ｂ—ｌ一４ａ—ｌ６ ６２＿１＋４ａ０６ １ｂ０＋２ａ￣ｂ３＿１）ｅ ＋Ⅱ０＋Ⅱ一ｌｅ一 ） Ｋａｄｏｍｔｓｅｖ——Ｐｅｔｖｉａｓｈｖｉｌｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｏ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｓｈａｌｌｏｗ ｗａ－ 击 ６ｚ＿Ｉ－２ａ＿ｌｂ２ｂ＿１＋２ａｏｂｚ＿ｌｂｏ＋ａ２＿ｌ６ －２ａ＿ｌｂｏａｏｂ－１ ＋６０¨ ～『８］ ｔｅｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ（２００６）． Ｍ．Ｓｅｎｔｈｉｌｖｅｌａｎ．Ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｔａｎｄｅｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｈｏｍｏｇｅｎｏｕｓ 其中 ＝ （ ＋（一扣 ＋｝）￡＋ ），６＿ｌ≠０． Ｂａｌａｎｃｅ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔ．２００１，１２３：３８１— ３８８． ［９］ Ｄ．ｓ．“．Ｈ．Ｑ．Ｚｈａｎｇ．Ｎｅｗ ｓｏｌｉｔｏｎ—ｌｉｋｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｐｏ— ３ 结论 ｔｅｎｔｉａｌ Ｋａｄｏｍｓｔｅｖ—Ｐｅｔｖｉａｓｈｖｉｌｉ（ＰＫＰ）ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐ１． Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔ．２００３，１４６：３８１—３８４． 本文应用何…提出的指数函数法，对ＰＫＰ方 ［１０］Ｄ．Ｓ．Ｌｉ，Ｈ．Ｑ．Ｚｈａｎｇ．Ｓｙｍｂｏｌｉｃ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｖａｒｉｏｕｓ ｅｘ— 程进行求解，借助于数学软件ＭＡＰＬＥ取得了ＰＫＰ ａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐｏｔｅｎｔｉｌａ Ｋａｄｏｍｓｔｅｖ—Ｐｅｔｖｉａｓｈｖｉｌｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ 方程新的更具一般形式的精确行波解．通过对这 ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔ．２００３，１４５：３５１—３５９． Ｔｈｅ Ｅｘａｃｔ Ｔｒａｖｅｌｉｎｇ Ｗａｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ（２＋１）一Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＰＫＰ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＳＨＩ Ｙｅ—ｑｉｏｎｇ （Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉｕｚｈｏｕ ５４５００６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｅｘｐ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ Ｍａｐｌｅ，ｓｏｍｅ ｎｅｗ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｅｘａｃｔ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅ ｓｏ— ｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ（２＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＰＫＰ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ（２＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＰＫＰ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｈｅ Ｅｘｐ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ［责任编辑江元杪］