双曲线知识点

表-1 条件 {M|MF1||MF2|2a,2a|FF12|} {M|MF1||MF2|e,0e1} 点M到l1的距离点M到l2的距离标准方程 x2y2y2x221(ab0); 221(ab0) 2abab参数方程 xacost,0t2 ybsintA1(a,0),A2(a,0);A1(0,a),A2(0,a) B1(0,b),B2(0,b);B1(b,0),B2(b,0) 顶点 轴 对称轴: x轴, y轴; 长轴长: |A1A2|2a; 短轴长: |B1B2|2b 焦点 共焦点的椭圆系方程 F1(c,0),F2(c,0);F1(0,c),F2(0,c); x2y221(kb2);2akbky2x221(kb) 22akbk 焦距 离心率 准线方程 |F1F2|2c,c2a2b2 ec(0e1) aa2a2a2a2l1:x,l2:x; l1:y,l2:y cccc焦半径 |MF1|aex0, |MF1|aey0 |MF2|aex0, |MF2|aey0 点和椭圆的关系 外1xy 1点(x0,y0)在椭圆上 ab内1202202切线方程 (k为切线斜率) (k为切线斜率) ykxa2k2b2, ykxb2k2a2 x0xy0yx0xy0y121 , 222abba(x0,y0)为切点, (x0,y0)为切点 切点弦方程 (x0,y0)在椭圆外, (x0,y0)在椭圆外 x0xy0yx0xy0y121 , a2b2b2a弦长公式 1k2|x1x2|或11|y1y2|, 其中k2(x1,y1)(x2,y2)为割弦端点坐标, k为割弦所在直线的斜率 通径 2b2b22b2b2交点(c,), 交点(,c) aaaab2 c焦点到对应准线距离

二、双曲线 主干梳理：

1．双曲线的第一定义：|MF1||MF2|2a（2a＜|F1F2|)。 双曲线的第二定义：

|MF|e,(e＞1)。 dx2y22．双曲线标准方程：焦点在x轴上221（a＞0，b＞0）， aby2x2 焦点在y轴上221（a＞0，b＞0） abx2y23．以221研究双曲线的几何性质。

ab（1）范围：|x|≥a，yR。

（2）对称性：原点叫双曲线的对称中心，简称中心，x轴、y轴叫双曲线的对称轴。 （3）顶点：A1(a,0),A2(a,0) 特殊点：B1(0,b),B2(0,b)

实轴：A1A2长为2a，a叫做实半轴长 虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长 （4）焦点F1(c,0)、F2(c,0)，其中c2a2b2。

2ccb2叫做双曲线的离心率。e12，范围：e＞1 （5）离心率：e2aaax2y2a2a2（6）双曲线的准线方程：对于221，左准线l1:x；右准线l2:x。

ccabbxy（7）直线方程是yx(0)，这两条直线就是双曲线的渐近线。

aab（8）焦半径公式：①焦点在x轴：|MF1||aex0|；

|MF2||aex0| 两种形式的区别可记为：左加右减（带绝对值号）。

（9）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长

2b2|AB|。

a（10）焦点三角形面积公式：SF1PF2b2cot

2,(F1PF2)。