一、选择题（每题3分，共36分）
1．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
A．﹣8 B．32 C．16 D．40
2．某农场经过两年的时间将产量从200万斤提高到260万斤，其中第二年增产的百分率是第一年的2倍．设第一年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．200（1+x）（1+2x）=260 B．200（1+2x）2=260
C．200（1+x）+200（1+2x）2=260 D．200（1+x）2=260
3．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
4．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（ ）
A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2﹣2x﹣2 C．y=﹣x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x+1
6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A．50m B．100m C．160m D．200m
7．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
A．30° B．35°
C．40°
D．50°
8．要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的花坛，下列图案中不符合设计要求的是（ ）
A． B． C． D．
9．平面直角坐标系内，把一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘以﹣1，则以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y=x对称
10．下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）
B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
12．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．将二次函数y=x2﹣6x+21化为顶点式为 ．
15．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有A（三个点，则y1、y2、y3的值由小到大排列为 ．
），B（2，y2），C（）
16．如图所示，在一场足球赛中，一球员从球门正前方10m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6m时，球达到最高点，此时球高3m，将球的运行路线看成是一条抛物线，若球门高为2.44m，则该球员 射中球门（填“能”或“不能”）．
17．已知点P关于x轴的对称点为P1（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是 ．
三、解答题
18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19．已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
20．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）写出把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．
（1）画出对称中心E，并写出点E的坐标；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC的一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
24．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；
（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润=售价﹣进价）；
（3）当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润最多．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
A．﹣8 B．32 C．16 D．40
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=﹣2，αβ=﹣6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
2．某农场经过两年的时间将产量从200万斤提高到260万斤，其中第二年增产的百分率是第一年的2倍．设第一年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．200（1+x）（1+2x）=260 B．200（1+2x）2=260
C．200（1+x）+200（1+2x）2=260 D．200（1+x）2=260
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设第一年增产的百分率为x，则第二年增产的百分率是2x，根据经过两年的时间将产量从200万斤提高到260万斤，列方程即可．
【解答】解：设第一年增产的百分率为x，则第二年增产的百分率是2x，
由题意得：200×（1+x）（1+2x）=260．
故选A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
3．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【考点】二次函数的图象；一次函数的性质．
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选C．
【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
4．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
5．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（ ）
A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2﹣2x﹣2 C．y=﹣x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x+1
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，得出顶点坐标，比较得出答案即可．
【解答】解：A、y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；
B、y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，顶点坐标为（1，﹣3），符合题意；
C、y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），不合题意；
D、y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，利用配方法化为顶点式，求得顶点坐标是解决
问题的关键．
6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A．50m B．100m C．160m D．200m
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；再根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
【解答】解：（1）由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c
代入得
∴解析式为：
（2）当x=0.2时y=0.48
当x=0.6时y=0.32
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×100=160米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，数学建模思想是运用数学知识解决实际问题的常规手段，建立恰当的坐标系很重要．
7．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
8．要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的花坛，下列图案中不符合设计要求的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与原图形重合；中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180°能够和另一个图形重合，找到既能沿某条直线折叠，能够与原图形重合的图形，也能绕着某个点旋转180°能够与原图形重合的图形．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点评】考查了轴对称图形和中心对称图形的应用；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9．平面直角坐标系内，把一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘以﹣1，则以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y=x对称
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于原点对称．
【解答】解：∵一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘以﹣1，
∴以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】圆的认识．
【分析】根据直径的定义对①③进行判断；根据弧和半圆的定义对②④进行判断；根据等弧的定义对⑤进行判断．
【解答】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
弧不一定是半圆，所以②错误；
过圆心的弦是直径，所以③错误；
半圆是弧，所以④错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以⑤错误．
故选A．
【点评】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合；掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
11．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）
B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】分类讨论．
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
12．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，
由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞且k≠1 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）
＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故答案为：k＞且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．将二次函数y=x2﹣6x+21化为顶点式为 y=（x﹣6）2+3 ．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶式，进而得出答案．
【解答】解：y=x2﹣6x+21
=（x2﹣12x）+21
=（x﹣6）2+3．
故答案为：y=（x﹣6）2+3．
【点评】此题主要考查了配方法求二次函数顶点式，正确配方是解题关键．
15．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有A（三个点，则y1、y2、y3的值由小到大排列为 y1＜y2＜y3 ．
），B（2，y2），C（）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由二次函数y=3（x﹣1）2+k可知，此函数的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，k），二次项系数a=3＞0，故此函数的图象开口向上，有最小值；
函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越小，因而比较A、B、C三点与对称轴的距离的大小即可．
【解答】解：函数的对称轴为x=1，二次函数y=3（x﹣1）2+k开口向上，有最小值，
∵A到对称轴x=1的距离是：|﹣1|=﹣1；
B到对称轴x=1的距离是：|2﹣|=1；
C到对称轴x=1的距离是：|﹣﹣1|=+1；
﹣1＜1＜+1
∴y1＜y2＜y3．
故答案是：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．
16．如图所示，在一场足球赛中，一球员从球门正前方10m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6m时，球达到最高点，此时球高3m，将球的运行路线看成是一条抛物线，若球门高为2.44m，则该球员 能 射中球门（填“能”或“不能”）．
【考点】二次函数的应用．
【分析】首先建立直角坐标系，顶点为（6，3），起点为（0，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3，求出a的值．再代入x的值后易求出y的值．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，
球飞行的路线为抛物线，顶点（6，3），起点（0，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3，
∴0=a（0﹣6）2+3，
∴a=﹣；
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣6）2+3，
当x=10时，y=＜2.44，
故小王这一脚能射中球门，
故答案为：能．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
17．已知点P关于x轴的对称点为P1（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是 （﹣2，3） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；关于原点对称的点的坐标．
【分析】首先根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得到P点坐标，再根据两个点关于原点对称时的坐标特点：它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）即可得到答案．
【解答】解：∵点P关于x轴的对称点为P1（2，3），
∴P（2，﹣3），
∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，以及两个点关于原点对称时的坐标特点，解决问题的关键是熟记坐标变换的特点．
三、解答题
18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】判别式法．
【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
19．已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】（1）需考虑a为0和不为0的情况，当a=0时图象为一直线；当a≠0时图象是一抛物线，由判别式△=b2﹣4ac判断；
（2）根据抛物线的纵坐标的顶点公式列出不等式则可解．
【解答】解：
（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（﹣1，0）．
当a≠0时，依题意得方程ax2+x+1=0有两等实数根．
∴△=b2﹣4ac=1﹣4a=0，
∴a=．
∴当a=0或a=时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）依题意有，
当4a＞0，4a﹣1＞0，解得a＞；
当4a＜0，4a﹣1＜0，解得a＜0．
∴a＞或a＜0．
当a＞或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．
【点评】函数可能是一次函数，也可能是二次函数；只有一个交点，那么b2﹣4ac=0；顶点在x轴上方，那么顶点纵坐标大于0．
20．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）写出把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）把点A（0，3），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+2x+c，建立方程组求得a、c即可；
（2）化为顶点式求得抛物线的顶点坐标，得出点E坐标，利用勾股定理求得BD的长；
（3）利用平移的规律和顶点式得出平移后的规律即可．
【解答】解：（1）把点A（0，3），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+2x+c得
，
解得．
所以抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
顶点D的坐标为（1，4），点E坐标为（1，0），
则BD==2；
（3）把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式y=﹣（x﹣1﹣3）
2+4+2=﹣（x﹣4）2+6．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，抛物线的平移规律，勾股定理，掌握待定系数法是解决问题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．
（1）画出对称中心E，并写出点E的坐标；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC的一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2），
请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据中心对称的性质，连结BB1和AA1，它们相交于点E，然后写出E点坐标；
（2）利用点平移的规律可判断△ABC先向右平移6个单位，再向上利用2个单位得到△A2B2C2，则可得到点A2、点B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，点E为所作，点E坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（3，4）、C2的坐标为（4，2）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．
【专题】待定系数法．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．
23．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+1.95=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.7+0.25=（h+2.05）m，
∴h+1.95=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.3．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.3m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
24．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；
（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润=售价﹣进价）；
（3）当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润最多．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据销售数量与售价的关系分类讨论，当x＞50或x＜50时分别求出y与x之间的函数关系式；
（2）由销售问题的数量关系根据销售数量×每箱的利润就可以求出总利润；
（3）由（2）的解析式化为顶点式即可求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
当x＞50时，
y=90﹣3（x﹣50）=240﹣3x
当x＜50时，
y=90+3（50﹣x）=240﹣3x；
（2）由题意，得
W=（240﹣3x）（x﹣40）=﹣3x2+360x﹣9600．
∴W=﹣3x2+360x﹣9600．
答：利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式为W=﹣3x2+360x﹣9600；
（3）∵W=﹣3x2+360x﹣9600，
∴W=﹣3（x﹣60）2+1200．
∴a=﹣3＜0，抛物线开口向下，W有最大值，
∴x=60时，W最大=1200．
答：每箱牛奶售价为60元时，平均每天的利润最多为1200元．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系每箱的利润=售价﹣进价的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
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