广东广州市普通高中2022届高三上学期数学期末模拟试题 01 Word版含答案

满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={x||x－1|≤2}，B={x|x2－4x>0，x∈R}，则A∩（CRB）=

A. [－1，3]

B. [0，3]

C. [－1，4]

D. [0，4]

2. i为虚数单位，假如z=a2+2a－3+(a2－4a+3)i为纯虚数，那么实数a的值为

A. 1

B. 3或－1

C. －3 D. 1或－3 3. 函数f (x)=x+ln(x－1)的零点所在的区间为

A. （1，32）

B. （32，2）

C. （2，e）

D. (e，+∞)

4. 等差数列{an}的前n项和为Sn . 已知a5=8，S3=6，则a9=

A. 8

B. 12

C. 16 D. 24 5. 抛物线y=4x2的准线方程为

A. y116

B. x1

C. y116

D. x11616

6. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为43，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 A. 4

B. 43

C. 8

D. 83 第6题图

7. 从1，2，3，4四个数字中任取两个数求和，则和恰为偶数的概率是

A. 23

B. 25

C. 12

D. 13

8. 将函数y=cos(x－

56)的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3个单位，则所得函数图象对应的解析式是

A. y=cos12x B. y=cos(2x－6)

C. y=sin(2x－16) D. y=sin(2x－6)

9. 某程序框图如图所示，若输出结果是126，则推断框中可以是 ( )

A. i>6? B. i>7?

C. i≥6？

D. i≥5?

10. 对于函数f (x)和g(x)，其定义域为[a, b]，若对任意的x∈[a, b]总有

|1－g(x)f(x)|≤110，则称f (x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f (x)=x x

∈[4，16]的是

( )

A. g(x)=2x+6 x∈[4，16]

B. g(x)=x2+9 x∈[4，16] 1第9题图

C. g(x)=

(x+8) x∈[4，

D. g(x)=

1316] 5(x+6) x∈[4，16] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上，答错位置、

书写不清、模棱两可均不得分.

11. 对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到了样本 的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数为_________， 众数为_________。

12. 学校为了调查同学的学习状况，打算用分层抽样的方法从

第11题图

高一、高二、高三三个班级的相关同学中抽取若干人，相关数据如下表：

相关同学 抽取人数 高一同学 56 b 高二同学 a 3 高三同学 35 5 则抽取的总人数为_________.

13. 设双曲线4x2－y2=1的两条渐近线与直线x22围成的三角形区域（包括边界）为E， P（x, y）为该区域内的一动点，则目标函数z=x－2y的最小值为________.

14. 若不等式|x－a|<3成立的一个充分条件是015. 海中有一小岛，四周42n mile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6 n mile

以后，望见这岛在北偏东30°. 假如这艘海轮不转变航向连续前行，则经过________n mile后海轮会触礁.

16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l：x+y－4=0，点B(x,y)是圆C：x2+y2-2x-1=0上的动点，

AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是________. 17. 在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足

a1－

，j=2j1，ai，1=i，ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j (i, j∈N*)；又记第

3行的数3，5，8，

13，22，39……

为数列{bn}，则

(1)此数表中的第2行第8列的数为_________. 第17题图

(2)数列{bn}的通项公式为_________.

三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分12分)

已知在锐角△ABC中，a, b, c分别为角A、B、C所对的边，向量m(cosA,sinA)，n(cosB,sinB)，

mn3sinBcosC.

(1)求角A的大小；

(2)若a=3，求△ABC面积的最大值.

19. (本小题满分12分)

如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4. 将△CBD沿BD折起到△EBD的

位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求证：AB⊥DE；

(2)求三棱锥E—ABD的侧面积. 第19题图

20. (本小题满分13分)

已知数列{a3an}的首项a1= t >0，ann12a，n=1，2，……

n1 (1)若t =

35，求{1a1}是等比数列，并求出{an}的通项公式；

n (2)若an+1>an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围.

21. (本小题满分14分)

已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为22，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为22，过点M（0，13）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点. (1)求椭圆的方程；

(2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明

理由.

22. (本小题满分14分)

已知函数f (x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.

(1)当b=0时，若对x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围； (2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2))，其中x1>0. ①求证：x1>1>x2；

②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xe

x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.

答案

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A B D D A D 二、填空题

11. 45；45 12. 16 13. 32 14. [1，3] 15. 35 16. 52 17. 129；bn=2n－

122+n+1 三、解答题

18. 解：(1) mncosAcosBsinAsinB

又mn3sinBcos(AB)3sinBcosAcosBsinAsinB…… (2分) ∴3sinB2sinBsinA，sinA=32…………………………………………(4分) 又A为锐角，∴A=3……………………………………………………………(6分) (2) a2=b2+c2－2bcosA ∴b2+c2－bc=9≥bc

∴S=

12bcsinA=3934bc≤4………………………(10分)

故△ABC面积的最大值为

934…………………………………………………(12分) 19. (1) 证明 在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60° ∴BD=AB2AD22ABADcosDAB23.

∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD，

平面EBD∩平面ABD=BD，AB平面ABD，

∴AB⊥平面EBD. 又∵DE平面EBC，∴AB⊥DE. …………………………(5分) (2)解：由(1)知AB⊥BD.

∵CD∥AB ∴CD⊥BD，从而DE⊥BD 在Rt△DBE中, ∵DB=23，DE=DC=AB=2，

∴S1△DBE=

2DBDE23.……………………………………………………(7分) 又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4，S1△ABE=

2AB·BE=4………………………………………(9分) ∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD， 而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S=

1△ADE2AD·DE=4. ………………(11分) 综上，三棱锥E—ABD的侧面积S=8+23……………………………… (12分) 20. 解：(1)由题意a13a1112n>0，

an， n13anan3an3

1a11(11)，112…………………………………………………(4分) n13ana13 所以数列{

12a1}是首项为3，公比为13的等比数列……………………(5分) n 151n13na1(31)(3)23n，an3n2………………………………(7分) n1 (2)由(1)知

1a113(1a1)，11(11)(1)n1……………………………(9分) n1nant3 由a3a1>0，an+1=

n2a1知a，故a11n>0n+1>an得a………………………(10分)

nnan1 即(1－1)(

1n11n11t3)+1<(t－1) (3)+1得t－1>0 又t>0 则022，又2a=22，∴a=2，c=1 故b=1，故椭圆的方程为x22y21………………………………………………(4分) (2)设l的方程为y=kx－

13 1ykx4163 由2得(2k2+1)x2－kx－=0

39xy212 设P(x1, y1)，Q(x2, y2) ∴(lnx11)max 即k的取值范围是[，e] xeexxxxx (2)由题知：h(x)即为y－e1= e1(x－x1)即y=e1·x+ e1－x1 e1 也为y=lnx2=

11(xx2)即y=x+lnx2－1 x2x2x11ex ∴………………………………………………(6分) 2 则x1+x2=

4k3(2k21) x1·x2=169(2k21)……………………………………(8分) 假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则 NP(x1,y 1m) NQ(x2,y2m)

NP·NQ= x 1x2+(y1－m)(y2－m)= x1x2+ y1y2－m(y 1+y2) +m2

= x1111 1x2+(kx1－)( kx2－3)－m(kx1－3+ kx2－3) +m23

=(k2+1) x1211x2－k( 3+m)(x1+x2)+m2+3m+9

=16－k(1+m)4k+2+21 9(2k21)33(2k21)m3m+9 22 =

18(m1)k2(9m6m15)…………………………………(12分) 9(2k21) 由假设得对于任意的k∈R，NP·NQ=0恒成立

即m21026m150解得m=1

9m 因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为(0,1)

…………………………………………………………………………………………(14分) 22. 解：(1)依题意对x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立

即对任意x∈（0，+∞）均有exlnxx≥k≥x成立…………………………………(1分)

ex ∴(x)lnxmin≥k≥(x)max

由于(exex(x1)ex x)=x2 故yx在（0，1）上减，（1，+∞）增 ∴（ex x）min=e

又(lnxx)1lnxx2 故ylnxx在（0，e）上减，（e，+∞）增 ex1x1ex1lnx21 又x1=0 ∴ex1>1 即

1x>1x1>1 2 即x1>1>x2………………………………………………………………(8分) (3)令F(x)=ax2－x+xex+1(x≥x1) ∴F′(x)= －1－xe

x+e

x=－1+e

x(1－x)( x≥x1)

又

x≥x1>1 F′(x)= －1－xex+ex=－1+ex(1－x)<0

即F(x)=ax2－x+xe

x+1(x≥x1)单减

所以只要F(x)≤F(x1)= ax2－x1+1xe

x1+1≤0

即a+ x1－x1ex1+ ex1≤0………………………………………………(12分)

 由ex11x2 ex1xex11lnx21 ∴x1lnx2ex1xx1e1lnx 21 即xxex11x1e11

故只要axxx1x1e1e1a1≤0得：

a≤1

综上，实数a的取值范围是（－∞，1] ……………………………(14分)