西安电子科技大学16-17年高等代数考研真题

一 选择题（每题4分，共28分）

1 设矩阵A,B等价，A有一个k阶子式不等于0，则（）

A R(B)k B R(B)k C R(B)k D R(B)k 2 设A,B均为非零矩阵，且AB=0，则下面结论正确的是（）

A A的列向量线性相关，B的行向量线性相关 B A的列向量线性相关，B的列向量线性相关

C A的行向量线性相关，B的行向量线性相关 D A的行向量线性相关，B的列向量线性相关

3 设二次型f(x1x2x3)x12x2ax34x1x24x2x3，若该二次型经过正交线性替换X=CY化为标准形

22

f(x1x2x3)2y125y2by3，则（）迹

2

2

2

A a3,b1 B a3,b1 C a3,b1 D a3,b1 4 在实数域R上，下列矩阵中与矩阵Adiag{1,2,3}合同的是（）

120 A 2-13 B

031104010 C 400220221 D 011111121 1125 设,,是线性空间V的三个线性无关的向量，记V1L()，V2L()，

V3L()，则子空间 (V1V2)V3=（）

A L(,) B L() C L() D 零空间 6 齐次线性方程组AX=0与BX=0同解的充要条件为（）

A R(A)R(B) B A,B等价 C A,B的行向量组等价 D A,B的列向量组等价 7 设1,2,3,,均为4维列向量，矩阵A(1,2,3,)，B(1,2,3,)，且

A3,B2，则 2A5B（）

A -4 B 1298 C -1202 D 108 二 填空题（每题4分，共32分）

T

1 设n阶方阵A满足AAE，E为n阶单位矩阵，且A0，则AE 。

2 三次整系数多项式f(x)x3ax2bxc没有整数根是f(x)在有理数域Q上不可约的 条件。

1

3 矩阵Ann

010...0

001...0...............000...1

10

0的不变因子是 。 ...0

4 设4元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3为其三个解向量，且

12(2,6,4,8)T，23(1,2,3,4)T，则该方程组的通解为 。

02133201512

5 设矩阵A0 。 33，则A

22033a1

a2

6 设1,2,...,n为n个不全为0的实数，方阵A...

an

特征值为 。

7 设三阶实对称矩阵A的特征值为

a1a2...an

............

a1a2

...的秩为 ，an

12,231，对应于1的特征向量为

1(1,1,1)T，则A= 。

x1

8 设x1,x2,x3是方程x3pxq0的三个根，则行列式x3

x2x1

x3

x3

x2 。 x1

x2

三 （10分）向量可由1,2,...,s线性表出，但不能由1,2,...,s1线性表出，证明

1,2,...,s与1,2,...,s1,等价。

四 （10分）设多项式f(x)除以x1，x3的余式分别为2x7，求多项式f(x)2x1，除以(x1)(x3)的余式。 五（10分）已知

2

2

2

2

1(7,10,1,1,1)T，2(6,8,2,3,1)T，3(5,6,5,5,1)T，

4(1,2,3,2,0)T都是方程组

x1x2x3x4x503x2xxx3x012345

（*）的解向量，试问方程组（*）的解是否都能用1,2,3,4

x22x32x46x505x14x23x33x4x50

线性表出？求出方

程组（*）的一组包含1,2,3,4的一组极大无关组的基础解系。

2

六（20分）设Ann,Bmm为复矩阵，证明 矩阵方程AX-XB=0只有零解的充要条件为A,B无公共的特征值。

七（15分）设Anm,Bmn，Ek为k阶单位矩阵；（1）证明 EnABEmBA；（2）计算行列式

1a1x1a1x2

a2x11a2x2

Dn

......anx1anx2...a1xn

...axn

。

.........1anxn

2

2

2

八（10分）已知二次型f(x1x2x3)x1x2x32ax1x22x1x32bx2x3经过正交变换化为标准型fy22y3，求参数a,b及所用的正交变换。

九（15分）设是欧式空间中一个单位向量，定义()2(,)；证明 （1）是第二类正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；（2）如果n维欧氏空间中，正交变换以1作为一个特征值，且属于特征值1 的特征子空间为n-1 维，那么是镜面反射。

2

2

3

西安电子科技大学2017年

一、选择题（每小题4分，共20分）

1 设A为mn矩阵，下面结论正确的是（）

A 若Ax0仅有零解，则Axb有唯一解 B 若Ax0有非零解，则Axb有无穷解

C 若Axb有无穷多解，则Ax0只有零解 D 若Axb有无穷多解，则Ax0有非零解

2 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且ABE，则（）

A R(A)m B R(A)m C R(A)n D R(A)不确定

3 设向量组1,2,3线性无关，向量1可由1,2,3线性表出，而2不能由1,2,3线性表出，则对于任意常数k，必有（）

A 1,2,3,k12线性相关 B

1,2,3,k12线性无关

C 1,2,3,1k2线性无关 D 1,2,3,1k2线性相关

4 设T是R3上的线性变换，T(x1,x2,x3)(x1x2,x2x3,x3x1)，则T在自然基

1(1,0,0),2(0,1,0)， 3(0,0,1)下的矩阵为（）

101101110011 A 110 B 011 C 011 D 110

011110101101

5 在三维线性空间R[x]2中的线性变换定义为：T(f(x))f(x)(x2)f'(x)，则T的特

征值为（） A 1，2，3 B 2，3，4 C 1，0，1 D 2，1，0 二 填空题（每小题5分，共30分）

1 设A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4为4维列向量，已知

A4，B1，则 AB 。

)，2 设(a,0,...,0,a)T，a0，E为n阶单位阵，矩阵A(ET)，B(E1a

且矩阵A的逆矩阵是B，则a 。

3 如果(x1)2|ax4bx21，则a ，b 。

4 设A为n阶矩阵，A0，若A有特征值，则(A*)2E必有特征值 。 5 二次型f(x,x,x)(x1x2)(x2x3)(x3x1)的秩为 。

2

2

2

T

01

6 矩阵A0

...0

001...0...............

0an0a1

0a2的最小多项式为 。 ......1an1

11a10三 （15分）设矩阵A1（1）0a，b1，且方程组Axb无解，a11a12a2

求a的值；（2）求线性方程组Axb的最小二乘解。

4

四（10分）设A,B,C,D均为n阶矩阵，且ABBA，证明

ABDACB。 CD

五（10分）设A为m阶正定矩阵，B为mn实矩阵，证明 矩阵BTAB正定的充要条件为B是列满秩的，即R(B)n。

六（10分）若xxxx1|[xf1(x)xf2(x)xf3(x)f4(x)]，其中

4

3

2

3

5

2

5

5

5

fi(x)(i1~4)为实系数多项式，证明 fi(1)0。

1bb1

七（15分）设n阶矩阵A

......bb

T

矩阵P，使得PAP为对角矩阵。

............

bb，

（1）求A的特征值和特征向量；（2）求可逆...1

八（15分）设A为6阶矩阵，A的特征多项式为f()(1)3(2)2(3)，A的最小多项式为

（1）求A的所有不变因子；（2）写出A的Jordan标准形。 m()(1)2(2)(3)，

九（15分）设V1,V2是齐次线性方程组x1x2...xn0与x1x2...xn的解空间，证明 PV1V2，P表示数域。

十（10分）设是欧氏空间V上的线性变换，是V上的一个变换，且对于任意x,yV都有((x),y)(x,(y))，证明 （1）是V上的线性变换；（2）的值域Im等于的核Ker的正交补。

n

5