平面一级倒立摆的稳定控制 平面一级倒立摆的稳定控制 Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｐｌａｎａｒ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｎｖｅｒｔｅｄ ＰｅｎｄｕＩｕｍ 王国政 李 虹 董宗慧 （太原科技大学，山西太原０３００２４） 摘要 平面倒立摆系统是进行控制理论研究的理想实验平台。在对平面一级倒立摆进行运动学和动力学分析的基础上，采用 拉格朗日方程建立了它的动力学模型。分别设计了ＬＱＲ控制器和模糊控制器，应用所设计的控制器对倒立摆系统进行了 实时控制实验。验证了两种控制方法的优缺点。 关键词：平面一级倒立摆，建模，ＬＱＲ控制，模糊控制 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｐｌａｎａｒ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｌａｔｆ０ｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ａ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｐｌａｎａｒ ｓｉｎｇｌｅ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｉｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｌａｎｇｒａｎｇｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｉｔ．Ａ ＬＱＲ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ａｎｄ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ａｒｅ ｄｅｓｉｇｎｅｄ．Ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ Ｖｅｒｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｌａｎａｒ ｓｉｎｇｌｅ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ．ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ＬＱＲ ｃｏｎｔｒｏｌ，ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ 平面倒立摆是三类倒立摆系统中最复杂的一类。这是因为 平面倒立摆的基座可以在平面内自由运动，具有两个自由度，而 ＝ 『： —— 一∞融、 Ｖ （２） 一 直线型与环形倒立摆的基座都仅有一个自由度。另外，平面倒立 摆的摆杆可以沿平面内的任一轴线转动，然而角度的测量却仅 采用两个一维旋转编码器进行，因此平面倒立摆更加突出了倒 立摆的多变量、非线性和强耦合特点，使对它的控制难度大大增 加…。本文针对一个平面一级倒立摆系统，设计了两种控制器， 并通过仿真与实验验证，取得了预期的控制效果。 １ 平面一级倒立摆数学模型的建立 ＝ＣＯＳ Ｂ 罢 『‘ｐ —：——— 一ｃ０ｓ ｏ【 Ｖ １＋ｃｏｓ￣［３— ｓｉｎ２ｅ （３） 在系统的平衡位置即摆杆垂直向上的位置附近偏角 ， Ｂ＜＜１，此时则可近似认为Ｉ ｌｙｚ—Ｉ。在Ｘ－Ｚ平面内如图２所示， 其中Ｍ 为Ｘ轴方向上的小车质量，Ｓ为小质量块ｄｓ到小车上 摆杆的长度，在本系统中因为在广义坐标上均无非有势广义外 力作用，所以有下式成立： 本文采用的研究对象为 表１平面一级倒立摆的系统参数 固高ＧＰＩＰ２００２型平面倒立 控箱及由运动控制卡和普通 ＰＣ机组成的控制平台等三大 Ｍ 摆系统，它包含倒立摆本体、电 Ｍ 符号 参数实际意义 参数数值 基座小车、虎克 １ ３２ｋｇ 铰和编码器的 总质量 摆杆的质量 ０ １３ｋｇ ｄｔ 。 ｑｉ：Ｄ 。 （４） 式中Ｌ（ｑ，ｑ）＝Ｉ（ｑ，ｑ）一Ｖ（ｑ，ｑ）为拉格朗日算子。Ｔ是系统 总动能Ｖ是系统总势能： ２部分。倒立摆本体由Ｘ、Ｙ方向 Ｌ 导轨、基座小车、摆杆以及摆杆 与小车之间的虎克铰组成。平 Ｇ 摆杆的长度 重力加速度 ０ ２７５ｍ ９ ８ｍ／ ２ Ｔ＝ Ｍｘ ＋ 舀 摆杆绕Ｘ、Ｙ轴 随时间变化 的转角 １＼ｔ ｄＴ： Ｍ ＋ ｍ ＋ ｍ ｃｏ ＋ ｍｆ （５ 面一级倒立摆系统参数如表１ 所述［”。 ｘ，， 小车沿ｘ、Ｙ轴 随时间变化 方向的加速度 Ｊ。ｄＶ＝ｍｇｌｃｏｓ￣ 展开（４）式并整理可得如下方程组： ｄ ａＬ一 Ｌ（ｑ，（７）＝ｆ－Ｖ＝￣％ｘ＋； ＋Ｉｍｌ￣ｘｃ。Ｓｅ．ｔ十吾ｍ， ＋ｍｇｌｃｏｓ￣（６） ａＬ （ ＋ｍ） ；ｍ／（ ｃ。 一＆ｓ『ｒｈ）： （７） （８） （９） ｄ ａＬ一＝；，ｎ 。 ＋吾ｍｆ￣－１ｍｇ『ｓ『ｍ＝。 ２ 同理可以得出ｘ－ｙ平面方程组： 一 （Ｍｙ＋ｍ）Ｙ＋２ｍｌ（［３ｃｏｓ￣｝一Ｂ ｓｉｎｆ３）＝Ｆ， 图１ 平面一级倒立摆建模示意图 图２倒立摆Ｘ－Ｚ平面示意图 将倒立摆系统抽象成小车和摆杆组成的系统，建立如图１ 所示全局坐标系ＯＸＹＺ。其中ｌ是倒立摆摆杆长度，ｌ ， 分别是 摆杆在Ｘ－Ｚ，ｙ－ｚ平面的映射长度，０是摆杆与Ｚ轴的夹角，ｏｒ，、１３ 分别是在Ｘ－Ｚ，ｙ－ｚ平面的映射。则由图２可知： ｔａｎ２￣ｍ如。ｓｐ＋吾ｍ广 一； ｆＳ『门Ｂ＝０ （１ｏ） 由此可见，在经过将映射的倒立摆系统进行近似之后。在 ×Ｙ两个方向上是非耦合的从而我们便可以依次分别设计控制 器，而不必担心两个方向上的互相干扰问题令爻＝ｕ ， ＝ｕ ，则系 统Ｘ方向方程线性化为： ：ｔｓｎ２ｄ＋ｔａＺ￣ 《工业控制计算机｝２０１３年第２６卷第３期 ｌ＿……摆角度 ＾薯一世 鼍｝ ＾三饕趟卅七 ｌ………ＰＩＤ控制 鲁棒控制 一∞毫．Ｊ 譬】０ ０ ０ ：呈 时问（ ｛—— ＿＼ ４ ６ ８ １Ｏ １２ 、、 －＿＿●＿● 一 时间ｆｓ１ ＇Ｏ 芒 ／ Ｊ●●●●●●●●●●●ｔ－，＿－●●● 丑 ｌ１．……－控制命令ｕ 罾 辑０ 一””…………………一…一………………～一…………… 誓 磊 ｝｝ 。 － ｛ｌ一 再品４ ｉ世 图１ 摆角度、车位移和控制命令响应 图２为倒立摆的摆角速度与小车位移速度响应输出。摆的 图４车的位移和速度响应 角速度在０．０８ｓ时达到最大值０．７０８７ｒａｄ／ｓ，小车速度在０．２４ｓ 图５中为控制命令ｕ的输出响应，主要反映对控制器的动 时达到一０．４２２８ｓ／ｍ，动态响应迅速，响应时间明显缩短。 态性能要求。在满足机械构件执行性能的情况下，鲁棒控制实现 卜……摆角速度 的响应时间和最大超调量条件不是很苛刻，更易于实现。 ５ 、、．．．０ Ｏ ２ ４ ６ ８ １Ｏ １２ １４ １６ １８ ２Ｏ 时间 ：—— ， 、 度ｌ ５ ｆ 珀 辑 ｜ ．１０ ０ ２ ４ ６ ８ １Ｏ １２ １４ １６ １８ ２０ 时间∞ …‘ １５ 篓 目 图２摆的角速度和小车速度响应 图３、图４为采用传统ＰＩＤ控制与采用鲁棒控制时，系统输 ２Ｏ 出响应在动态性能和稳定性能上的对比效果。图３中摆角度 ２ ４ ６ ８ １０ １２ 时间（ｓ） ＰＩＤ控制最大超调量为０．１４４９，远大于鲁棒控制超调量 图５控制命令ｕ对比 ０．０３３７６；在摆角速度的响应稳定时间上，ＰＩＤ控制为５－２ｓ，鲁棒 ４结束语 控制稳定时间为０．７８ｓ，动态响应时间明显缩短，响应迅速。图４ 通过对单级倒立摆系统的建模分析，线性化处理了非线性 中ＰＩＤ控制小车最大位移为２．０４７ｍ，在１．４３６ｓ时达到稳定状 影响因子，降低了不确定性参数对系统稳定性能的影响。在存在 态；鲁棒控制最大位移为０＿２ｍ，稳定时间为２．９８ｓ。在一定动态 干扰输入的情况下，采用基于Ｒｉｃｃａｔｉ方程的Ｈ 鲁棒控制分析 响应时间４ｓ内，鲁棒控制稳定性能明显优于ＰＩＤ控制。 设计了鲁棒控制器。通过算例仿真对比论证了Ｈ 鲁棒控制与 Ｏ ２ ＰＩＤ控制相比，在单级倒立摆控制器设计上，有着优异的动态性 冒０ ￡ ｌ 能和稳定性能。 酉 蜃－Ｏ ２ 一……ＰｌＤ控制『‘ 参考文献 蒌‘ｏ ４ ［１］桑英军，范嫒嫒，徐才千．单级倒立摆控制方法研究［Ｊ］．控制工程， ６ ４ ６ ８ １０ １２ 时问（８） ２０１０，１７（６）：７４３—７４５，７５０ ［２］申铁龙，梅生伟，王宏鲁棒控制基准设计问题：倒立摆控制［Ｊ］．控制 ｌ＿……ＰＤ控制 ｌ鲁棒控制 理论与应用，２００３，２０（６）：９７４—９７５ ［３］郝智超，朱廷焕，刘克平．不确定柔性倒立摆系统鲁棒控制器设计 ＼ …一 ‘ ［Ｊ］．吉林大学学报（信息科学版），２００９，２７（６）：６３４—６３９ ［４］李艳辉，李红星，李建华．鲁棒Ｈ 控制在非线性倒立摆系统中的应用 ［Ｊ］．大庆石油学院学报，２００７，３１（５）：９７—１０Ｏ 图３摆的角度和角速度响应 ［收稿日期：２０１２．１０．３０］ （上接第３７页） 参考文献 １）平面一级倒立摆在平衡位置附近可以近似为Ｘ和Ｙ两 ［１］固高科技（深圳）有限公司先进教学设备与系统事业部，中国科学技 个垂直方向上的直线一级倒立摆，进而可以在两个方向分别设 术大学．固高摆系统与自动控制实验［Ｋ］，２００２ 计控制器进行控制。 ［２］张乃尧．Ｅｂｅｒｔ Ｃ，Ｂｅｌｓｃｈｎｅｒ Ｒ，Ｓｔｒａｈｌ Ｈ．倒立摆的双闭环模糊控制 ２）实时控制结果表明模糊控制方法比ＬＱＲ控制方法具有 ［Ｊ］．控制与决策，１９９６，１１（１）：８５－８８ 更好的控制精度与更强的外部抗干扰能力。 ［３］李洪兴，苗志宏，王加银．四级倒立摆的变论域自适应模糊控制［Ｋ］ 中国科学，２００２，３２（１） ［收稿日期：２０１２．１１－２１］
