２０１３年２月 第１３卷第１期 廊坊师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｇｆａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ ＣｏＵｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｆｅｂ．２０１３ Ｖｏ１．１３ Ｎｏ．１ 二次型性质的简单应用 陈【摘丽，杜海霞 （郑州师范学院，河南郑州４５００４４） 要】 二次型是高等代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值 及因式分解等问题中，用初等数学方法处理会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，就会使很多 问题化繁为简，由难转易。因此，讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断 二次曲线的形状等实际例题中的应用，是很有意义的。 【关键词】 二次型；正定；因式分解；线性变换 Ｔｈｅ Ｓｉｍｐｌｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｏｆ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ Ｆｏｒｍ ＣＨＥＮ Ｌｉ ＤＵ ＨＢ ｘｉａ 【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｉｔｓ ｍａｉｎ ｃｏｎｔｅｎｔ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ Ａｌｇｅｂｒａ，Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｏｆｒｍ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｓｃｈｏｏｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ—ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｅｘｔｒｅｍｕｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｉｔ ｉｓ ｔｏｏ ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ ｏｆｔｅｎ ｕｓｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｂｕｔ ｉｆ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅｍ ｕｓｉｎｇ ｏｆ ａｄｖａｎｃｅｄ ａｌｇｅｂｒａ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｗｉｌｌ ｍａｋｅ ａ ｌｏｔ ｏｆ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｃｈａｎｇｅ ｎｕｍｅｒｏｕｓ ｆｏｒ ｂｒｉｅｆ，ｆｒｏｍ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｅａｓｙ．Ｆｏｒ ｏｕｒ ｓｔｕｄｅｎｔｓ，ｍｏｒｅ ｓｈｏｕｌｄ ｌｅａｒｎ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｋｎｏｗ１一 ｅｄｇｅ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｏ ｇｕｉｄｅ ｏｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｃｏｎｔｅｎｔ，ａ ｄｅｅｐｅｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ— ｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ａｌｇｅｂｒａ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆｃｔｏｒ— ａｉｚａｔｉｏｎ，ｃａｌｃｌａｔｕｉｏｎ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃａｌ ａｒｅａ，ｊｕｄｇｅ ｔｗｏ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ａｃｔｕａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． 【Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ】ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ；ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ；ｉｌｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ［中图分类号］０１５１．２６ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７４—３２２９（２０１３）０１—０００８—０３ …０引言 高等代数中的二次型对解决中学数学的不等式 的证明、因式分解、求极值、曲线形状及封闭曲线面 ， ）都可以经过非退化的线性替换变成平方和 ＋ｄ ＋…＋ｄｎｘ，：的形式。 ．ｄ 性质２ 设厂（ 。， ，…， ）＝Ｘ Ａ 是一个 实二次型，若对任意一组不全为零的实数Ｃ。，Ｃ：， …积等问题起到了化繁为简，事半功倍的效果。因此， 通过研究二次型的性质，可以进一步研究其在中学 …，ｃ ，都有，（ ， ，…， ）＞０，则称，（ ， ：， 代数和几何中的应用，更好地解决很多初等数学问 题。本文将讨论二次型理论在实际例题中的应用。 ， ）为正定的；若ｆ（ 。， ，…， ）≥０，则称 （ 。， ：，…， ）为半正定；若厂（ ｌ， ：，…， ）＜ ０，则称厂（ ， ，…， ）是负定的；如果，（ ， ：， １二次型的相关性质 性质１ 数域Ｐ上任意一个二次型厂（ 。， ：， ．…， ）≤０，则称厂（ 。， ，…， ）为半负定的。 ．性质３ 实二次型厂（ ， ，…， ）＝Ｘ Ａ ．［收稿日期］２０１２—１１—２６ ［基金项目］河南省软科学研究项目（１２２４００４５０５２６） ［作者简介］陈丽（１９６８一），女，硕士，郑州师范学院数学与统计学院副教授，研究方向：概率论及代数学。 ・ ８ ・ 第１３卷・第１期 陈丽等：二次型性质的简单应用 ２０１３年２月 为正定的充要条件为： １）它的正惯性指数为 ； ２）矩阵 的各阶顺序主子式都大于零； 作初等变换得：Ａ～３）矩阵Ａ与单位矩阵合同； ［三－ｓ 口二 ］，于 ４）Ａ的全部特征值都是正的。 性质４ 实二次型．厂（ ， ，…， ）＝Ｘ Ａ 为半正定的充要条件为： １）它的正惯性指数与秩相等； ２） 的所有主子式都大于等于零； ／ ｒ ０＼ ３）Ａ与矩阵Ｉ Ｉ合同，这里ｒ是矩阵Ａ的 ＼０ Ｏ／ 秩： ４）Ａ的所有特征值都大于等于零。 性质５ 一个实二次型可以分解成两个实系数 的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩为２和 符号差为０，或秩等于１。 性质６ 设 元二次型，（ ）：ＸＡＸ，（ ： （ 。， ，…， ）），则ｆ在条件∑ ＝１下的最大 ｉ＝ｌ 值（小）值恰为矩阵Ａ的最大（小）特征值。 二次型理论的这些性质将会帮助我们解决以下 初等数学的实际问题。 ２二次型性质的应用实例 任意的实数 ，Ｙ，ｚ都有， ＋Ｙ ＋ｚ ≥２ｘｙｃｏｓａ＋ 证明 记，（ ）＝Ｘ Ａ ＝ ＋Ｙ ＋ 一 Ａ １ 一］， 次型，（Ｘ）是半正定的，即对于任意的实数 ，Ｙ，ｚ， 即 ＋Ｙ ＋彳 ≥２ｘｙｃｏｓａ＋２ｘｚｃｏｓｆｌ＋ ２ｙｚｃｏｓ７，得证。 例２ 求证：９ ＋Ｙ ＋３ｚ ＞２ｙｚ一４ｘｙ一 证明 设二次型，（ ，Ｙ， ）＝９ｘ ＋Ｙ ＋３ｚ 一２ｙｚ＋４ｘｙ＋２ｘｚ，则ｆ的矩阵是 Ａ＝［； 。 ］，因为Ａ的各阶顺序主子 式为 ＝９＞。’Ｉ１ ９２ ２ｌ Ｉ５＞。’ ｌＩ ２９ｌ 一１； ３ Ｉ …。 ｛ ｙ ｌ＝ ｘ ｔ＋－ｘ３ ２ ｓ＋２ｘ３，即［ｉｘ ｌ＝ ｙ ｌ一＋ｙ３，２ ｓ一５ｙ３， ２０１３年２月 廊坊师范学院学报（自然科学版） 第ｌ３卷・第１期 ｇ（ ， ， 。）＝Ｙ ＋Ｙ；一１３ｙ；，因此，ｇ（ 。， ， ，）的秩为３，由性质５知，ｇ（ 。， ， ）不能分 解，所以厂（ 。， ：）也不能分解。 例４ 分解因式／（ ，Ｙ）＝ 一３ｙ ＋２ｘｙ一 ４ｙ一１。 解 令ｇ（ ，Ｙ，＝）＝ 一３ｙ ＋２ｘｙ一４ｙｚ— ｚ ，则 （ ，ｙ）＝ｇ（ ，Ｙ，１），对ｇ（ ，Ｙ，ｚ）作非退 化线性替换： １ １ 。ｌ— ２＋ 。３ ｎ ＝ １（ｃ：一ｃ，） ’ Ｚ－＝Ｃ３ 所以ｇ（ ，Ｙ，ｚ）＝ ｃ 一ｃ；，因此，，（ ，ｙ）＝ ｇ（ ，Ｙ，１）＝ｃ；一ｃ；。 可见 （ ，ｙ）的秩为２，符号差为０。 由性质５知， （ ，ｙ）＝ｇ（ ，Ｙ，ｚ）＝ｃ 一ｃ；＝ （ｃｌ＋ｃ２）（ｃ１一ｃ２）＝（ ＋３ｙ＋１）（ —Ｙ一１）。 ２．３求极值 例５ 已知实数 ，，，满足 ＋，， ＝１，求 （ ， ｙ）＝ ＋２ｙ 一２ｘｙ的最大值和最小值。 解ｆ（ｘ，ｙ）的矩阵为Ａ＝（－１ ＿２ ）， Ｉ ２Ｅ—Ａ ｌ： 一３ ＋ｏ因此，特征值 １：． １（３ ＋４３）， ： （３一 ），于是由性质６知，，（ ，ｙ） 在 ｚ＋ｙ２：ｌ下最大值是丢（３＋ ），最小值是 （３一 ）。 ２．４判断二次曲线的形状 例６ 判断二次曲线 ＋４），。＋２ｘ一２ｘｙ一２ ：０的形状．并求曲线围成图形的面积。 ・ ｌ０・ 解 设，（ ，ｙ）＝ ＋４ｙ ＋２ｘ一２ｘｙ一２， 令ｇ（ ，Ｙ，ｚ）＝ ＋４ｙ ＋２ｘｚ一２ｘｙ一２ｚ ，则 ，（ ，ｙ）＝ｇ（ ，Ｙ，１）。对ｇ（ ，Ｙ， ）实施非退化线 性替换： ４ １＝ —Ｙ ４－ ：戈１＋ｙ１一 彳 Ｙｌ＝Ｙ＋号 ，即 Ｚ１ Ｙ ｙｌ一了 Ｚ１ Ｚ ＝Ｚ１ 所以ｇ（ ，ｙ，ｚ）＝ ＋３ｙ 一 ２・，从而 （ ， ｙ）＝ｇ（ ，ｙ，１）＝ ＋３ 一 ＝０。 即 ２ ＋而９ ｙ２。＝１，故曲线 ２＋４）， ＋２ 一 ２ｘｙ一２＝０表示椭圆。 它的两半轴分另ＩＪ为 ， ， 从而这个曲线的面积为Ｊｓ＝ 。 。 ３结语 本文只是对二次型在初等数学中的几个方面的 应用进行了举例说明，而二次型的应用是非常广泛 的，它在数学的其他分支及物理、力学、工程技术中 也常常用到，因此，还需要我们进一步研究二次型更 多的性质及应用，进而去解决更多的实际问题。 ［参考文献］ ［１］韩凌燕．二次型化简二次曲线方法的探究［Ｊ］．山东科 学，２００８，（２）：５２—５４． ［２］杨家摇，等．高等代数在初等数学中的应用［Ｍ］．济南： 山东教育出版社，１９９２． ［３］张禾瑞，郝丙新．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社， ２００７．