直线与圆锥曲线中的弦长问题

直线与圆锥曲线中的弦

长问题

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第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题

【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记

1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题

x2y2xy1.已知椭圆C:221ab0，直线l1:1被椭圆

ababC截得的弦长为

22，且

e63，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB，

（1）求椭圆的方程； （2）弦AB的长度. 2.已知椭圆4x2y21以及直线yxm

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

x2y21，试判断k的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，3.已知直线ykx3与椭圆2一个交点和没有交点

xx2xx2y21，P(x0,y0)，00y01，问0y0y1与椭圆的公共点个数 4.已知椭圆

2225.已知双曲线x22y24，直线l:yk(x1)，试讨论满足下列条件时实数k的取值范围

（1）直线l与双曲线有两个公共点 （2）直线l与双曲线有且只有一个公共点 （3）直线l与双曲线没有公共点 过关练习

x2y261.221(ab0)的离心率为ab3A,B两点,当|AB|=

，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于

3，求的b值.

x22.已知椭圆G:y21，过点（m，0）作圆x2y21的切线l交椭圆G于A、B两点

4（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）将|AB|表示成m的函数，并求|AB|的最大值

x2y21恒有公共点，求m的取值范围 3.直线ykx10与椭圆

5m4.若直线

ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，求k的取值范围

【关卡2 中点弦问题】 笔 记

x2y2设椭圆221(ab0)的弦AB的中点为P(x0,y0)（x00,y00），则

abb2kABkop2e21

ab2x2y22设双曲线221的弦AB的中点为P(x0,y0)（x00,y00），则kABkop2e1

aabp2k设抛物线y2px的弦AB的中点为P(x0,y0)（y00），则ABy0

例 题

x2y21 1.已知椭圆

1求（1）以P(2,1)为中点的弦所在直线的方程 （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程

（3）过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程

x2y21，试确定m的取值范围，使得椭圆E上存在两个不同的点关于直线2.（1）已知椭圆E：43y4xm对称

y21，双曲线上存在关于直线L：ykx4对称的点，求实数k的取值范（2）已知双曲线x32围。

（3）如果抛物线y2=px (p>0)和圆(x－2)2＋y2=3在x轴上方相交于A、B两点，且弦AB的中点M在直线y=x上，求抛物线的方程。

x2y23.椭圆C221的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且PF1PF2,

abPF1414,PF2 332（1）求椭圆C的方程。 （2）若直线l过圆x+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线

l的方程。

过关练习

1.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，求|AB|的长。 2.已知直线

ykx1与双曲线3x2y21有A,B两个不同的交点。

（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点，试求k的值。 （2）是否存在k的值，使得AB两个不同的交点关于直线

y2x对称

3.已知椭圆

x2y21和圆C：94M：x2y24x2y0，是否存在直线l，使l过圆心

M，与

椭圆C相交于A, B两点，且A, B两点关于M对称若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。