给青年数学教师的寄语-1

——写给青年数学教师的几点建议

赵 璟

一、 我对现行教材的看法

编者具有创新精神，打乱了原有教科书的顺序，对授课内容作了大刀阔斧的删减，授课内容的顺序作了颠覆性地调整。目的是让学生分阶段，分层次，螺旋式上升地学习数学知识。尤其是立体几何，解析几何，体现得更明显。直线和圆，点线面的位置关系，放在必修-2高一下学期讲解。 二、《大纲》与《考纲》之矛盾

《大纲》是指导教学的纲领性文件，对教学内容，目的，时间安排都作了相

应规定。《考纲》是高考命题的指导性文件，对数学命题的内容，原则，对考察学生的数学知识，数学思想方法，创新意识，都作了要求和说明。

《大纲》与《考纲》 花开两朵争斗艳， 本是同根不想商。 学考脱节是实情， 难煞师生看花人。

三、矛盾依旧 变则释然

高考毕竟是为国家选拔人才，要从多数考生中选拔少数人，尤其是重点大学招生名额更少，优中选优，因此命制高考题的人总是力求做到“稳中求新，难度适中，梯度明显，能力立意。”每年高考数学试卷都受到好评。

但某些题遭到数学教师，考生及家长的非议。

1

如2012年新课标卷T12和T16 示例①T12(理).设点P在曲线y小值为

(A)1ln2 (B) 2(1ln2) (C) 1ln2 (D) 【解析】选A 题评：

示例②T16. 数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为 【解析】{an}的前60项和为 1830 题评：

1xe上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ最 22(1ln2)

再如2013年理科T12和T16.

示例③T12.设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn，

n1,2,3,,若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

cn＋anbn＋an

，cn＋1＝，则 22

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列

C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【解析】B 题评：

示例④T16.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则

f(x)的最大值是______.

题评： 这些题分值低难度大、正常需要3分钟，实际需要8分钟，安排不合理。

2

褒也好，贬也罢，去年高考已成史，几家欢喜几家愁。 一线的教师不能优，俩花争艳不相商、面对现实不会变。 变则通达理想处，指导学生得高分、付出汗水是必然。

四、建议

（一）：做好四个学习 1.向教材学习

教材不是尤物，教材是古玩，我们需要学会去发现，鉴定，把玩，珍藏。

1：等差数列a的通项公式：aan1d和等比数列a的通项公式：示例○n1nnana1qn1。我以等比数列an为例，一起来回顾一下教科书是如何讲的：

a1a1q0,a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa1q3 猜想ana1qn1（未作证明）。

学习数学归纳法时再做证明，由特殊到一般，由具体到抽象。 思维导图：a1a2a3a4 为何不这样启发学生呢？

an1an

anan1qan2qqan2q2an3qq2an3q3=ann1qn1a1qn1 思维导图：a1a2a3an1an，

这又教会给学生一个重要的解题方法：迭代，对学生理性思维的养成难道不

是有很大帮助吗？

2：推导等比数列an的前n项和，教科书是这样为学生讲解的： 示例○2n1Sna1a1qa1qa1q23nqSna1qa1qa1qa1q两式相减得：1qSna1a1qn

Sna11qn1q,q1

3

此法让学生学会了错位相减这个解题方法。 也可以这样推导等比数列an的前n项和：

Sna1a1qanqn1

a1qn2

a1qa1a1qa1qSn1=a1qSnSn1

Sna1qanq1 1q 此法体现了转化与化归的数学思想，考查了项与和相互转化这一重要知识

n1a点。an1

n2SnSn13：线面的两个重要位置关系。 示例○

左右：判定定理；右左：性质定理

最好的两个对应例题如下：

T1.已知l,a//，//,求证：//l

证明：过a作平面，记b

过a作平面，记c

a,b（线//面性质定理） a,ac（线//面性质定理）

abc （三线平行公理）

4

c （线//面判定定理）

又c， l cl（线//面性质定理） al （三线平行公理）

T2.已知三个平面,,，l,r,,求证：l。 证明：

法一：记a,rb，在内任取一点P

,nb 过P作ma

,m （面面性质定理）

ml （线面性质定理）

同理：nl

l （线面判定定理）

法二：在内任作ma，在内任作nb

,m （面面性质定理）

,m （线//面判定定理） 同理：n mn 又l,ml （线//面性质定理）

l

法三：在l上任取一点P，p

在内过P作ma， 在内过P作nb ,,mn,（面面性质定理） m,n重合于l l 此法用的是同一法 5

法一 法二 法三 题评： 高考纯粹这样的证明题出的较少，通过计算证明线线位置关系（主是 线线）；平行关系一般是通过作辅助线（或辅助面）来设计题目。一旦出现四 边形，先判定四边形的形状，请大家注意，不论是立体几何，解析几何的高题， 绝大多数有平面几何的“味道”。如：三角形全等，相似，四边形的判定，圆的切割线定理，四点共圆

。如2013年高考题：18T（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. Ⅰ）证明AB⊥A1C;

Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，

求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的 正弦值。

Ⅰ）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，

∵AB=AA1，BAA1=600，∴BAA1是正三角形， ∴A1E⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CEA1E=E，∴AB⊥面CEA1， ∴AB⊥AC1； ……6分 Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，EA1⊥AB，

又∵面ABC⊥面ABB1A1，面ABC∩面

6

ABB1A1=AB，

∴EC⊥面ABB1A1，∴EC⊥EA1，

∴EA，EC，EA1两两相互垂直，以E为坐标原点， EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz， 有题设知A(1,0,0),A1(0,

3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，

3）,BB1=AA1=(－1,0,3),AC1=(0,－3,3), ……9分 设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量，

nBC0x3z0则，即，可取n=（3，1，-1）， nBB10x3y0∴cosn,A1C=

nA1C10， 5|n||A1C|10. ……12分 5∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为题评：

4：T16. 数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为 示例○ （2012年高考题，文T12，理T16）

此题仅告诉了递推公式，没有告诉初始值，被公认为是一道难度极大

的题。若对教科书的递推公式有较好的了解，显然可以给a1赋值，此题就变得十分简单。解法如下：

不妨令a11，则a22,a3a5a71,a46,a610所以当,,n为

奇数时，an1，当n为偶数时构成以a22为首项，以4为公差的等差数列。所以前60项和为S6030230题评：

5：设f(x)=sinnxcosnx,(n2示例○,4,6k2)

30(301)41830 2 7

I）求f2(x),f4(x),f6(x)的取值范围； II）猜想fn(x)的取值范围，请给出证明。 解：I）fn(x)sinnxcosnx,n2,4,6f2(x)sin2xcos2x11f4(x)sin4xcos4x12sin2xcos2x1sin22x

21f4(x)12f6(x)(sin2x)3(cos2x)3sin4xcos4xsin2xcos2x13sin2xcos2x31sin22x41f4(x)1 4

II）猜想

1fn(x)1,n2k,k1,2,32k1

法一：

fn(x)(sinx)(cosx)g(t)tk(1t)k g'(t)k[tk1(1t)k1]

1令g'(t)0,t

22k2ktsin2x0t1,g'(t)0,g(t)2;1t1,g'(t)0,g(t)2

.1111g(t)ming()kkk12222

1k1g(t)1.2法二：数学归纳法

i) 当n2时：f2(x)1 猜想成立。 ii) 假设当n2k时，猜想成立。

8

有

1sin2kxcos2kx1 k122k2 当n2k2时：sinxcosx2x2sinxsin2xcosxcos2x

2k2k sin2xcos2x1

sin2kxcos2kx(sin2xcos2x) sinx sinx2k2cosx2k2sin2kxcos2xcos2kxsin2x

2k2cosx2x2

=sinx2k2k2k2kcosxsinxcos2xcosxsin2x

2k2k2k22k2 sinxcosxsinxcosx

12k22x22k2kcosxsinxcosx sinx211 k1

22 即n2k2时，假想成立。

题评：：这是教科书的原题，本题跨度大，是一个融合了多个考点的好题目，当

然也就必然吸引高考命题人的眼球。 2.向教辅学习

教辅泛滥成灾，良莠难辨，但又是教师，学生不可少的助手。学生有一

套完整的教辅即可。高一高二的学生我建议使用《教学与测试》（苏州大学数学组编），高三的学生用《五年高考，三年模拟》或者《全品》较好。作为一名数学教师，至少要有五套完整的教辅，精通一套，泛读四套。品味教辅，重点是教辅所选的数学题是否经典，解题方法与技巧是否上乘，“拿来”为我所用。一定要去劣存优，分析综合，归纳整理，消化吸收，反复印证，吸其精华，去其糟粕，融入自己的观点，解题方法和技巧，心得体会，设计

9

简洁的思维导图。

1设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1x)f(1x)0恒 示例○m322mn成立。如果实数m,n满足不等式组，那么22f(m6m23)f(n8n)0的取值范围是 [ ]

A．（3.7） B.（9，25） C.（13,49） D.(9,49) 解析：C 法一：

f(x)x1,f(x1)f1(x)0

 f(x)的对称中心为（1，0）

m3 不等式组，由图可知：OA最小，OA13，OB22m3n44最大，OB=7，mn13,49 故选C

22 题评： 法一是《五年高考三年模拟》给出的解法，举特殊函数是解决抽象函数的一个重要方法，对于解决客观题非常有效，但不能用于解决主观题。考试可以，平常训练要像做主观题一样。方法二应当讲解如下：

法二：

1x)0 f(1x)f(

(x ) 用1x替代x，f(x)f2 f(m26m23)f(n28n)0

23)(fn8)n f(m6m22f22n8n  m26m232n28n

10

m3  以下同法一 22m3n442：10. 函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则( D ) 示例○A. f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C. f(x)f(x2) D. f(x3)是奇函数

法一：

令f(x)tanx

44 f(x3)tan3x=tan44424x sinxcosx24=4 为奇函数 cosxsinx424 法二：

f(x1)与f(x1)都是奇函数

f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，

函数f(x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f(x)是周期函数

T2[1(1)]4.f(x14)f(x14)， f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函数。故选D

法三：

fx1fx1

x1x fxfx2 fx1fx1 x1x fxfx2

fx2fx2 fx4fx T4

11

fx1fx1

x2x fx3fx1fx14fx3

fx3是奇函数.

题评：对教辅资料不迷信、不盲目，更不能有意或无意的引导学生，只顾教辅资料，脱离教材。教辅资料精心打造的不多，抄袭拼凑的为数较多，存在很多瑕疵。例如：

（1）总结太多：唯恐说不尽，临发又拆封

示例①：函数f(x)自身对称。很多教辅不遗余力的进行总结，并给出对称条件，甚至要求学生死记硬背。殊不知，只需掌握以下几点： （a）基本图（如图）

（b）若f(ax)f(ax)则f(x)图像关于直线x=a对称 （c）中点公式{

xxx122y

y1y22

及k1k21

（2）解法繁琐：金考卷恐怕是学生、教师手中最多的教辅资料。金考卷第一期是本年度全国高考题汇编。客观题（选择，填空）标准答案只有结果，无过程，尽管美其名曰“名师讲真题”，许多题的解法不敢恭维甚至是错误的解法。

示例②：12.设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3,若b1c1,b1c12a1，an1an,bn1，

cnanban,cn1n，则( ) 22A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【名师解】参考金考卷第一期

12

【自解】先证AnBnCn(n1,2,3,„„）的周长=3a1 法一：计算b2、c2;b3、c3„„猜想n=3a1(n1,2,3,„„） 法二：

cnanbnan22bcnna1令bncnRn211Rn1Rna1Rn12a1(Rn2a1)221为首项为公比的等比数列Rn2a1是以R12a12但R12a10bn1cn1Rn2a1是常数列：0,0,0，„„nRna12a1a13a1(定值)再证(cn1bn1)2(cnbn)2(cn1bn1)2(cnbn)2bna1cna12)(cnbn)2221(cnbn)202(

准备工作就绪，追寻待求量

1 Snbncnsinn22bn2cna1221bncn1()22bncn2bn2cna12212(bncn)()2222bn2cna12bn2cna121(bncn)(bncn) 2221(anbn)2a12a12(anbn)2222132a1a12(cnbn)222Sn1示例③：

16.若函数f(x)=(1x)(xaxb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值是

22_____.

13

【名师解】参考金考卷第一期

【自解】……a=8,b=15则f(x)(1x)(1x)(x3)(x5) 法一：

f(x)(x24x)22(x24x)15[(x4x)1]1616法二：

22

f(x)[5(4xx2)][3(4xx2)]5(4xx2)34xx22()16

214xx2时，“=”成立【名师解】解题方法笨拙，计算量超级大，解题过程冗长，实在令人费解。 3.向同仁学习

同行是朋友，不是冤家对头，文人莫相轻，真心交朋友，“他山之石可以

攻玉”，合作总比对抗好，沟通总比封闭好。由于受教育程度不同，毕业学校不同，教学年限不同，彼此之间必然存在差异。孔子说：“三人行必有我师焉。”俗语说：“一个好汉三个帮。”在学习交流探究中，不断进取，天天小进步，月月中进步，年年大进步，何乐而不为也？青年教师要尊重老教师，老教师要爱护青年教师，形成一个合作进取的团队，无理由不出成绩。天道酬勤，我们要不负教师这个职业，要对得起学生家长。培养出的学生又是我们的活广告，名师出高徒，高徒造就名师。

我教高三这么多年，我写的教学讲义，从不保留，我的同行人人都有。

我年年更新修订，每年的讲义我反复征求同行的建议并虚心接受。如求： a21(ab0)的最小值。我的同行丰老师给出如下解答：

bab a2112abb

babbab 14

2abb211 4babbabbab 24bab14

bab补充了我给出的两种解法。此法对培养学生的变式能力大有裨益。 4.向学生学习

学生是受教育对象，平常教学我们不主张填鸭式教学，但实际教学中还是老师讲为主，学生练为辅。既不能低估老师的指导作用，更不能小觑学生的创新精神。创新精神是学生求知的源泉，也是我们老师补充新鲜血液的一条简洁途径。教学相长绝不是虚言！

x2y2 示例①：已知椭圆221(ab0),p是椭圆第一象限上任一点，F1,F2是左右焦

ab点，且PF1F2,PF2F1，计算:1PF20,，记PF

解析：

c6,F1F22c a3PF1PF22a,PF12ccos,PF22csin

a6 式子两边同时平方得： c2 cossin2sincos

11sin22215,75,1:5

学生的解法简洁，

示例②已知函数f(x)x3log(2x21x),则对于任意实数a,b(a,b0)

f(a)f(b)的值为 ( )

a3b3A.恒大于零 B.恒等于零 C.恒小于零 D.不确定

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解析:令a1,b0, 正规解法：

f(1)f(0)0,所以选A.

1303f(x)f(x)log2[(x21x)(x21x)]0知f(x)为奇函数;

3333 f(x)xlog2(x1x)xlog2(x1x)在(0,+∞)增函数;

又ab(ab)a(abb3322)a(bb23b2a)[() ]220 又ab与ab同号,33f(a)f(b)0故选A

ab学生的解法简洁，特殊值法也是做选择题的有效手段。在肯定学生解法技 巧性灵活性的同时，一定要给学生讲解正规的解法，否则就失去了这道题的训练作用。考试和平常训练既有联系又有区别，考试时不择手段，平常训练要循规蹈矩，一定要严格要求学生平时做客观题要像做主观题一样，书写要端正规范，推理要严谨缜密，计算要准确无误。

建议二：钻研教法

教无定法，教有章法。授课内容不同，教的对象不同，所用教法必然不同 师生互动是课堂教学的中心环节，如何互动，时间如何分配？大前提是我们师 根据教学内容精心设计教案即上课流程图，讨论的哪些问题，使用哪些教具达 到什么样的教学目的，此外特别要注意学生会提出意想不到的问题。

古代教育家在教学过程中总结出来的教法：讲授法、谈论法、讨论法、读书指导法、演示法、参观法、实验法、练习法是我们教学的指路明灯。我们要古为今用，国外教育家也总结了许多有效的教学方法，如夸美纽斯的《大教学论》。闲暇之余，翻阅翻阅，从中汲取精华，岂不快哉。

示例①：充分必要条件（讲授新课）

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引入1：p:k1关闭，q:灯泡发亮 P是q的 条件

师生互动…… 总结：

充分性：pq（真），有p即可，无需其他。原命题真。

必要性：qp（真），有q不够，没它不行。逆命题真。

充分不必要条件：有之必然，无之未必然； 必要不充分条件：有之未必然，无之不必然； 充分必要条件：有之必然，无之必不然。

P :\"引入2： x2y24\"是q:\"xy42x2y\"成立的条件

Ａ充分但不必要条件　　　　Ｂ必要但不充分条件.. 　Ｃ既不充分也不必要条件　　Ｄ充要条件.. 17

师生互动…… 总结：

命题p成立的条件为集合A ，命题q成立的集合为B P是q的 条件

充分不必要 必要不充分

充要 即不充分又不必要

师生互动……

2（复习课）示例○：若实数x,1xyxy 5，则y满足

221xy1x1y 18

师：xy,xy很熟悉，请回忆下：

生：韦达定理，弦长公式，两角和差的正切公式。

师：韦达定理揭示的是一元二次方程的根与系数关系，弦长公式是求线段的长度。本题的目标式（待求量）与韦达定理，弦长公式无任何联系。我们自然联想用T公式，请同学们完成本题。

师：板书解题过程：（并请一位同学同台演板）

xy5 1xy令xtan,ytantan()5 6α+β1|1xy|1x1y22|1sinsin|coscossin2sin211

cos2cos2665|cos()|16思维导图：先让学生各自总结。 板书：xy,xyTcos

建议三：加强记忆

作为一名优秀教师，首先做到：课前精心设计教案，艺术性地上好每一课， 课后跟踪服务，耐心细致地辅导，培优补差，不歧视学生。如果上课不脱离教案，照本宣科，盲目地说教一堂，机械地写几黑板。咱先不论教学效果，先说学生的感受，不会给予好的评价。尤其现在的学生，见多识广，感情表达率真，喜恶分明，有一定是非标准，而且十分看重自己的前途，家长更是如此。这就要求我们每一位教师必须上好每一节课。要上好每一节课，必须是心中无教案，脑中眼里只有学生，记忆对于我们每位教师太重要了。特别是高三教师，每节课都要装一

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些经典题，无须回忆，脱口而出，题在哪本书上，一翻书就能找到，这还只是基本功，还要广泛涉猎，上识天文，下识地理。古今中外名著，不求其精 ，只求略知。这些数学外的知识，用于调节课堂教学，活跃课堂气氛，教学是一门综合艺术。

建议四：做个学者

“学高为师，德高为范”，“己不正不能正人”。既然选择了教师这个职业，不管是上天的安排，也不管是命运的使然，必然性也好，偶然性也罢，爱这个职业是不二的选择。当今社会经济快速发展，人的生活水平不断提高，追求生活质量是人的时尚，而我们教师呢？教师很清苦，一月就那么点工资，养家糊口还可以，没钱畅游祖国名山大川，更没钱国外度假。寒舍遮风避雨还可以，住豪宅没份，收入填饱肚子还行，却不知大餐何味。教师很艰辛，两头不见太阳，起五更，爬半夜，更不知今夕是何年。一天天拖着疲倦的身子踉踉跄跄回到家，点上一支连农民工都不吸的劣质烟，倒一杯白开水，斜靠在断了腿的沙发上。叹，叹，叹，命运如此悲惨，上天如此不公。错，错，错，我咋选择了教师这个职业。迷迷糊糊鸡又鸣，睁开双眼又登程。他们干的职业我们可以干，我们干的行业他们却干不了。这就是我们骄傲的资本，花花绿绿的世界是他们的，我们“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”。孔圣人弟子才三千，我们弟子远远超过三千，岂不自豪？待到学生成才时，我在丛中笑。不怨天。不怨地，忍耐着寂寞为祖国培养人才。千里之行，始于足下，用我们的血汗滋润学生干涸的心田，做一个合格的教书匠。

要付出很多心血，要进行修订，补充，调整。补充内容，

如三角函数一章，要补讲三倍角公式：sin33sin4sin3，

cos34cos33cos，计算sin18＿＿＿ 。万能公式：已知tan2t，

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2t1t22t,cos,tan则sin。立体几何补讲三垂线定理，数列1t21t21t2一章，理科要补讲求数列通项的各种类型。

学生为我们歌唱：

赞吾师

三尺讲台独享，人间精彩飞扬； 万丈红尘无关，智慧鲜花浇灌。 心灵纯洁依旧，风景美丽独守； 知识火炬高擎，学子之路照亮。 风雨春秋几度，白发青丝归处， 嫩芽花开果硕，恩报老师吾心。

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