安徽省天长中学2020届高三4月调研考试 数学(理)试题

理科数学

全卷满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.已知集合P{x|x22x80}， Q{x|xa}， CRPQR，则a的取值范围是

A. 2, B. 4, C. ,2 D. ,4 2.若复数z满足A.

zi1，其中i为虚数单位，则复数z的模为 zi2 B. 22 C. 22

D. 42 3.已知平面

，则“

”是“

”成立的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.为迎接中国党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为

- 1 -

A. 720 B. 768 C. 810 D. 816 5.函数fxsinx的图象的大致形状是 x2e

6.设数列an为等差数列， Sn为其前n项和，若S113， S410， S515，则

a4的最大值为

A. 3 B. 4 C. 7 D. 5

7.已知: sincos3，则cos2cos2的取值范围是 23A. 2,2 B. ,2 C.

232, D. 233, 22x2y28.已知椭圆C:221ab0，F1,F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴

abuuuvuuuvuuuuv端点外的任一点，G为F1PF2内一点，满足3PGPF1PF2，F1PF2的内心为I，uuvuuuuv且有IGF1F2（其中为实数），则椭圆C的离心率e（ ） A．D．

112 B． C． 3233 29.将函数（ ）

的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为

A. B.

C.

- 2 -

D.

10.已知函数fxlogax1(a0,a1)，若x1x2x3x4，且

fx1fx2fx3fx4，则

1111 x1x2x3x4A. 2 B. 4 C. 8 D. 随a值变化

x2y211.已知F1、F2是双曲线221(a0,b0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双

ab曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M、N均在第一象限，当直

2线MF1//ON时，双曲线的离心率为e，若函数fxx22x,，则fe

xA. 1 B. C. 2 D.

5 3

12.已知定义在R上的函数fx的导函数为fx，且3fx3fx1，

f111，则6fx2x10的解集为 6eA. 1， B. 1， C.

1 D. ，1 ，第II卷 非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知向量与的夹角是，且14.已知实数，满足约束条件15.已知集合

，则向量与则

的夹角是__________． 的最小值是_________.

，从集合中取出

，

个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若则

的最大值为____．

16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体

中，，过球心，若该四面体的体积为1，且

- 3 -

，

则球的表面积的最小值为______.

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本题满分12分）在

中，内角，，所对的边分别为，，，且．

(Ⅰ)求； (Ⅱ)若

，点，是线段

的两个三等分点，

，中，点

，求分别是

的值． 的中

18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形点，点在

上，且

，将

分别沿

折叠，使点重合于点

，如图所示.

试判断求二面角

与平面的位置关系，并给出证明； 的余弦值.

19. （本题满分12分）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上， C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是3,23， 2,0，

2， ． 2,4,42（1）求C1， C2的标准方程；

- 4 -

（2）是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M,N且

uuuuvuuuv满足OMON？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.

（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布

，其中

分别取考生的

平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？

（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求0.001） 附：①②③

，则

.

.

；

； .（精确到

21. （本题满分12分）已知函数（1）当（2）当范围.

时,讨论函数时,若不等式

的单调性；

在

时恒成立,求实数的取值

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立

- 5 -

极坐标系.已知直线的极坐标方程为cos3，曲线C的极坐标方程为

34acos（a0）.

1（Ⅰ）设t为参数，若y23t，求直线l的参数方程；

223，且|PQ|3MPMQ，（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于P， Q，设M0，求实数a的值.

23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数fx2xa2x3,gx2x32. （Ⅰ）解不等式gx5；

（Ⅱ）若对任意x1R，都存在x2R，使得fx1gx2成立，试求实数a的取值范围.

- 6 -

参

1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.C 13.17.(1)

14.-8 15.44 16.；(2)

.

，

，

，

解：(Ⅰ)∵则由正弦定理得：∴又

，∴

，∴

(Ⅱ)由题意得，是线段则又解得

，，

，在

，

的两个三等分点，设，

中，由余弦定理得

，又在

中，

，

，

.

（负值舍去），则

或解：在∴

中，由正弦定理得：，又

， ，

，∴，∴

，∴

， ，

，∴

∴又∴在

为锐角，∴，∴

中，

，

．

18. 解：（1）则

在图2中，连接

平面， 交

于，连接

，在

中，有

，

，

．证明如下：在图1中，连接

，交

于，交

于，

- 7 -

． 平面（2）连接与

，，

则可知在

平面

， 的平面角．

中，

，则

． ．

交，

平面

，故

平面

；

与点，图2中的三角形

，又

与三角形PDF分别是图1中的，

平面

，则

，又

为二面角

，则在中，

，由余弦定理，得

的余弦值为．

二面角

y22px0， 19.解：（Ⅰ）设抛物线C2:y2pxp0，则有x2据此验证四个点知3,23， 4,4在抛物线上， 易得，抛物线C2的标准方程为C2:y24x

x2y2设椭圆C1:221(ab0)，把点2,0，

ab2a24,b21 代入可得2,2x2所以椭圆C1的标准方程为y21

4（Ⅱ）由椭圆的对称性可设C2的焦点为F（1，0）， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1

33直线l交椭圆C1于点M1,2,N1,2

uuuuruuurOM·ON0，不满足题意

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1， 并设Mx1,y1,Nx2,y2

- 8 -

由{ykx1x4y422 ，消去y得， 1k2x28k2x4k210，

4k218k2于是x1x2 ,x1?x22214k14k3k2y1·y2 ①， 214kuuuuruuur由OMON得x1x2y1y20 ② 将①代入②式，得

4k2114k23k2k240，解得k2 2214k14k所以存在直线l满足条件，且l的方程为2xy20或2xy20 20.（1）

分；（2）634人；（3）0.499

解：（1）由题意知： 中间值 概率 ∴∴

名考生的竞赛平均成绩为

分. ，其中

，而

，

∴

人

.∴竞赛成绩超过人.

分的概率

在

上单调递增，在

.

上单调递减；（2）

,

.

- 9 -

，

（2）依题意服从正态分布∴服从正态分布

，，，

分的人数估计为

（3）全市竞赛考生成绩不超过∴

21.解：（1）

.而，

.

解析：（1）由题意，知∵当a<0，x>0时，有

∴x>1时，；当0∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. （2）由题意，当a=1时，不等式整理，得令

易知，当b≤0时，∴b>0 又

①当b≥时，∴所以②又

时，

，

. .又

在[1，+∞)上单调递减.

.

，不合题意. 在(1，+∞)上恒成立.

在x∈(1，+∞)时恒成立.

在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.

,符合题意；

,

在[1，+∞)上单调递减,

. ,

∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得

∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.

又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意. 综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).

x3t222. (Ⅰ) {1y23t2 （t为参数）；(Ⅱ) a51.

解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为cos3

31313sin3，即xy3， 所以cos222231t， 因为t为参数，若y23t，代入上式得x22

- 10 -

x所以直线l的参数方程为{3t21y23t2 （t为参数）；

（Ⅱ）由4acos（a0），得24acos（a0）， 由xcos， ysin代入，得x2y24ax（a0） 将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立， 得t2231at120.（*）

4121a240. 231a2t1t2231a， t1t212，

设点P， Q分别对应参数t1， t2恰为上述方程的根. 则MPt1， MQt2， PQt1t2， 由题设得|t1t2|2t1t2.

则有231a600，得a51或a15. 2因为a0，所以a51.

23.(Ⅰ) x|0x3 ；(Ⅱ) ,51,. 解析：（Ⅰ）由题设，得2x325，

2x3332x33，

0x3，

所求不等式的解集为x|0x3 ，

（Ⅱ）由题意，知y|yfx y|ygx ，

Qfx2xa2x32xa2x3a3，

gx2x322， a32，

- 11 -

a32或a32,a5或a1. 故所求实数a的取值范围是,51,.

- 12 -