初中数学竞赛辅导 归类解析与“[x]”有关的数学竞赛题

“[x]”是一种特殊的数学符号，它在各类数学竞赛中屡见不鲜，本文结合全国各省市的数学竞赛题，归纳出与“[x]”有关的三类常见题型，供同学们学习时参考． 一、有关的运算

例1 设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1] ＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是( ) (A)[a]＋[－a]＝0 (B)[a]＋[－a]＝0或1 (C)[a]＋[－a]≠0

(D)[a]＋[－a]＝0或－1

(2006年希望杯数学竞赛初二第1试试题) 解 依题意，令a＝1.7，则 [a]＋[－a]＝[1.7]＋[－1.7] ＝1－2＝－1； 令a＝－1，则

[a]＋[－a]＝－1＋l＝0． ∴[a]＋[－a]＝0或－1． 即选D．

例2 设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.4]＝3，[2]＝2，[－3.4]＝－4，则下列结论中，不成立的有( )个 ①[x]≤x<[x]＋1； ②x－1<[x]≤x； ③[－x]＝－[x]； ④[2x]＝2[x]； ⑤[x]＋[1－x]＝1

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(2004年五羊杯数学竞赛初三试题) 解 依题意，令x＝

1，则 2 [x]＝0，[2x]＝1，

[－x]＝－1，[1－x]＝0．

∴③④⑤均不成立，即选B． 二、求代数式的值

例3 规定[a]表示不超过a的最大整数．当x＝－1时，代数式2mx3－3nx＋6的值为

2m－n]＝( ) 3 (A)－4 (B)－3 (C)3 (D)4

(2004年希望杯数学竞赛初二第2试试题)

16，则[

1

将x＝－1代入2mx3－3nx＋6＝16得3n－2m＝10，

故选Ａ．

例4 [x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[－2.7]＝－3，[4]＝4，则

1223100220032004( )

(A)1001 (B) 2003 (C) 2004 (D)1002 (2004年希望杯数学竞赛初二第1试试题)

故选B．

例5 设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.4]＝[3.7]＝[3]＝3， 若2题)

11134223242151S，则[S]＝_______(2006年五羊杯数学竞赛初三试152 2

例6 对于实数a，令[a]表示不超过a的最大整数，例如[3.1]＝3，[－1.5]＝－2，[0.7]＝0，

x1，那么[f(2)]＋[f(3)]＋…＋[f(100)]＝_______． x1 (2004年希望杯数学竞赛初一第1试试题)

令f(x)＝

三、解方程问题

例7 对于数x，符号[x]表示不大于x的 最大整数，如[3.14]＝3，[－7.59]＝－8，则

3x7]＝4的x的整数值有 ( ) 7 (A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个

(2006年希望杯数学竞赛初一第1试试题)

满足关系式[

3

故选D．

1229]＋[a＋]＋…＋[a＋]＝18([x]表示不超过x的303030最大整数)，则[10a]的值等于_______．

例8 已知01112<1，1≤a＋<2， 3030化简整理得18≤30a<19．

19于是6≤10a<，

3帮[10a]＝6．

例9 用[x]表示不大于x的最大整数，如[1.7]＝l，[0.25]＝0，[－3.4]＝－4，则满足[3.8x]＝[3.8]x＋l的自然数x有( )个 (A)4 (B)3 (C)2 (D)I

(2007年五羊杯数学竞赛初二试题)

从而有0解得1. 25≤x<2.5．

故满足题设方程的自然数x只有x＝2，故选D．

例10 已知x，y，z满足x＋[y]＋[z]＝－0.9①，[x]＋{y}＋z＝0.2②，{x}＋y＋[z]＝1.3③，对于数a，[a]表示不大于a的最大整数，{a}＝a－[a]，求x，y，z的值．

(2004年第9届“华罗庚杯”少年数学邀请赛初一组第1试试题)

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综上可见，尽管与“[x]”有关的竞赛题多种多样，但万变不离其宗，只要我们紧扣[x]的定义，活用其性质，有关问题便能迎刃而解．

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