黑龙江省牡丹江市朝鲜族学校中考数学模拟试卷

黑龙江省牡丹江市朝鲜族学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有( )

A. 1个

【答案】B

B. 2个 C. 3个 D. 4个

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形是第一个图形和第三个图形，共2个， 故选：B．

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，能熟记轴对称图形好中心对称图形的定义的内容是解此题的关键．

2. 下列运算正确的是( )

A. (𝑎+𝑏)(𝑎−2𝑏)=𝑎2−2𝑏2 C. −2(3𝑎−1)=−6𝑎+1

【答案】D

B. (𝑎−2)2=𝑎2−4 D. (𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9

11

【解析】解：𝐴.(𝑎+𝑏)(𝑎−2𝑏)=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑎𝑏−2𝑏2=𝑎2−𝑎𝑏−2𝑏2，选项错误； B.(𝑎−)2=𝑎2−𝑎+≥，选项错误；

24C.−2(3𝑎−1)=−6𝑎+2，选项错误； D.(𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9，选项正确． 故选：D．

根据整式的乘法法则或乘法公式进行计算便可．

本题主要考查了整式的乘法运算和乘法公式，关键是熟记运算法则和运算公式．

3. 如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表

示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )

1

1

A. B. C.

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D.

【答案】A

【解析】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，主视图是故选：A．

先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．

本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．

4. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2

个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是( )

．

A. 3

【答案】B

1

B. 9

4

C. 5

3

D. 3

2

【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种， ∴𝑃(两球颜色相同)=．

9故选：B．

用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．

本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．

5. 一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是( )

4

A. 5 【答案】C

28

B. 5或5

32

C. 5或5

2832

D. 5

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【解析】解：因为一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数， 所以𝑥=4或𝑥=8， 当𝑥=4时，𝑥=当𝑥=8时，𝑥=故选：C．

根据众数的意义，可得出𝑥=4或𝑥=8，分两种情况求平均数即可．

本题考查众数、平均数的意义和计算方法，求出x的值是求出平均数的前提．

𝑠𝑖𝑛𝐵=，𝑡𝑎𝑛𝐶=2，𝐴𝐵=3，6. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，3

则AC的长为( )

1

−−

4×3+8×2

54×2+8×3

5

==

285

， ，

325

A. √2

5

B. √2

C. √5 D. 2

【答案】B

【解析】解：过A作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，则∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=90°，

∵𝑡𝑎𝑛𝐶=2=𝐷𝐶，𝑠𝑖𝑛𝐵=3=𝐴𝐵， ∴𝐴𝐷=2𝐷𝐶，𝐴𝐵=3𝐴𝐷， ∵𝐴𝐵=3，

∴𝐴𝐷=1，𝐷𝐶=2，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=√12+()2=√，

2

2

1

5

1

𝐴𝐷1𝐴𝐷

故选：B．

𝐴𝐵=3𝐴𝐷，过A作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，则∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=90°，根据已知求出𝐴𝐷=2𝐷𝐶，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．

本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．

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7. 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，

则∠𝐴𝑆𝐵的度数是( )

A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°

【答案】C

【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的√2倍， 即𝐴𝐵=√2𝑂𝐴， ∴𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=𝐴𝐵2，

∴△𝑂𝐴𝐵为等腰直角三角形，∠𝐴𝑂𝐵=90°， ∴∠𝐴𝑆𝐵=2∠𝐴𝑂𝐵=45°． 故选：C．

设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明△𝑂𝐴𝐵为等腰直角三角形得到∠𝐴𝑂𝐵=90°，然后根据圆周角定理确定∠𝐴𝑆𝐵的度数．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

𝑎𝑥+𝑏𝑦=5𝑎=2

8. 若{是二元一次方程组{2的解，则𝑥+2𝑦为( )

𝑏=1𝑎𝑥−𝑏𝑦=2

3

1

A. 2

【答案】C

B. −3 C. 3 D. −2

3𝑥+𝑦=5 ①𝑎=2

【解析】解：把{代入方程组得：{，

𝑏=12𝑥−𝑦=2 ②①+②得：5𝑥=7， 解得：𝑥=5，

把𝑥=5代入②得：𝑦=5， ∴𝑥+2𝑦=5+5=3， 故选：C．

把a与b的值代入方程组计算求出x与y的值，即可求出所求．

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数

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7

8

7

4

7

的值．

9. 如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2,2√3)，

将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为( )

A. (−2,−2√3)或(2√3,−2) B. (2,2√3) C. (−2,2√3)

D. (−2,−2√3)或(2,2√3)

【答案】D

【解析】解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2,2√3)， ∴𝐴𝑂=√22+(2√3)2=4，𝑂𝐵=4， ∴菱形的边长为4，△𝐴𝑂𝐵是等边三角形， 分两种情况讨论：

如图所示，当点A在x轴正半轴上时，

过C作𝐶𝐷⊥𝐴𝑂于D，则𝑂𝐷=2𝐶𝑂=2，𝐶𝐷=2√3， ∴点C的坐标为(−2,−2√3)；

1

如图所示，当点A在x轴负半轴上时，

过C作𝐶𝐷⊥𝐴𝑂于D，则𝑂𝐷=2𝐶𝑂=2，𝐶𝐷=2√3， ∴点C的坐标为(2,2√3)；

1

第5页，共27页

综上所述，点C的对应点的坐标为(−2,−2√3)或(2,2√3)， 故选：D．

依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4，△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，再分两种情况进行讨论，依据𝑂𝐷=2𝐶𝑂=2，𝐶𝐷=2√3，即可得到点C的对应点的坐标．

本题主要考查了菱形的性质以及旋转变换的运用，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直．

10. 若关于x的分式方程𝑥−1=𝑥有正整数解，则整数m的值是( )

2

𝑚

1

A. 3

【答案】D

B. 5 C. 3或5 D. 3或4

【解析】解：解分式方程，得𝑥=𝑚−2， 经检验，𝑥=𝑚−2是分式方程的解， 因为分式方程有正整数解， 则整数m的值是3或4． 故选：D．

解分式方程，得𝑥=𝑚−2，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．

A，B是双曲线𝑦=上的两个点，11. 如图，过点A作𝐴𝐶⊥𝑥

𝑥轴，交OB于点D，垂足为点𝐶.若△𝑂𝐷𝐶的面积为1，D为OB的中点，则k的值为( )

𝑘

𝑚

𝑚

𝑚

A. 4 B. 4 C. 4 D. 8

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8

3

【答案】D 【解析】 【分析】

过点B作𝐵𝐸⊥𝑥轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可知𝑆△𝐵𝑂𝐸=2𝑘，由D𝐶𝐷=2𝐵𝐸，𝑂𝐶=2𝑂𝐸，𝐶𝐷//𝐵𝐸，𝑆△𝑂𝐷𝐶=为OB的中点，可知CD是△𝑂𝐵𝐸的中位线，

14

1

1

1

𝑆△𝐵𝑂𝐸=𝑘=1，即可求出k的值．

8

𝑘

1

本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数𝑦=𝑥图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2|𝑘|且保持不变，是解答此题的关键． 【解答】

解：过点B作𝐵𝐸⊥𝑥轴于点E，

1

则𝑆△𝐵𝑂𝐸=2𝑘.

∵𝐷为OB的中点，𝐶𝐷//𝐵𝐸，

∴𝐶𝐷是△𝑂𝐵𝐸的中位线，𝐶𝐷=2𝐵𝐸，𝑂𝐶=2𝑂𝐸，

111

𝑆△𝑂𝐶𝐷2×𝑂𝐶×𝐶𝐷2𝑂𝐸×2𝐵𝐸1∴=== 𝑆△𝑂𝐵𝐸1×𝑂𝐸×𝐵𝐸𝑂𝐸×𝐵𝐸4

2

∴𝑆△𝑂𝐷𝐶=𝑆△𝐵𝑂𝐸=𝑘=1，

48∴𝑘=8． 故选：D．

12. 如图是二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象的一部分，对称轴

为𝑥=2，且经过点(2,0).下列说法：

①𝑎𝑏𝑐<0；②−2𝑏+𝑐=0；③4𝑎+2𝑏+𝑐<0；④若(−2,𝑦1)，

5

11

1

1

1

1

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(,𝑦2)是抛物线上的两点，则𝑦1<𝑦2；⑤4𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(其中𝑚≠2). 2

其中说法正确的是( )

511

A. ①②④⑤

【答案】A

B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤

【解析】解：①∵抛物线开口向下， ∴𝑎<0，

∵抛物线对称轴为𝑥=−2𝑎=2， ∴𝑏=−𝑎>0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴𝑐>0， ∴𝑎𝑏𝑐<0， 所以①正确；

②∵对称轴为𝑥=2，且经过点(2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)， ∴

𝑐𝑎

1

𝑏

1

=−1×2=−2，

∴𝑐=−2𝑎，

∴−2𝑏+𝑐=2𝑎−2𝑎=0

−所以②正确； ③∵抛物线经过(2,0)， ∴当𝑥=2时，𝑦=0， ∴4𝑎+2𝑏+𝑐=0， 所以③错误；

④∵点(−2,𝑦1)离对称轴要比点(2,𝑦2)离对称轴远， ∴𝑦1<𝑦2， 所以④正确；

⑤∵抛物线的对称轴𝑥=2， ∴当𝑥=2时，y有最大值，

∴4𝑎+2𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐(其中𝑚≠2). ∵𝑎=−𝑏，

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1

1

1

1

1

5

5

∴4𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(其中𝑚≠2)， 所以⑤正确．

所以其中说法正确的是①②④⑤． 故选：A．

可得𝑎<0，根据抛物线对称轴为𝑥=−2𝑎=2，可得𝑏=−𝑎>0，①根据抛物线开口向下，

根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得𝑐>0，进而可以判断；

②根据对称轴为𝑥=2，且经过点(2,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，可得𝑎=−1×2=−2，即𝑐=−2𝑎，进而可以判断；

③根据抛物线经过(2,0)，可得当𝑥=2时，𝑦=0，即4𝑎+2𝑏+𝑐=0，进而可以判断；④根据点(−2,𝑦1)离对称轴要比点(2,𝑦2)离对称轴远，可得𝑦1<𝑦2，进而可以判断； ⑤根据抛物线的对称轴𝑥=2，可得当𝑥=2时，y有最大值，即4𝑎+2𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐(其中𝑚≠2).根据𝑎=−𝑏，即可进行判断．

本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为______． 【答案】6.048×105

【解析】解：将604800用科学记数法表示为6.048×105， 故答案是：6.048×105．

n为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14. 图，在四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，在不添加任何辅助线的

情况下，请你添加一个条件______，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可)． 【答案】𝐴𝐵//𝐶𝐷(答案不唯一)

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1

1

1

1

1

5

5

𝑐

1

𝑏

1

11

【解析】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：𝐴𝐵//𝐶𝐷． 故答案为：𝐴𝐵//𝐶𝐷(答案不唯一)．

可再添加一个条件𝐴𝐵//𝐶𝐷，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．

此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．

15. 在函数𝑦=√2𝑥−1中，自变量x的取值范围是______． 【答案】𝑥>0.5

【解析】解：根据题意得：2𝑥−1>0， 解得：𝑥>0.5． 故答案为：𝑥>0.5．

根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围． 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

16. “元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进

价是______元． 【答案】80

【解析】解：设该书包的进价为x元， 根据题意得：130×80%−𝑥=30%𝑥， 整理得：1.3𝑥=104， 解得：𝑥=80，

则该书包的进价是80元． 故答案为：80．

设该书包的进价为x元，根据售价×80%−进价=进价×利润率列出方程，求出方程的解即可得到结果．

此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．

𝑥第10页，共27页

17. 将抛物线𝑦=(𝑥−1)2−5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是

______． 【答案】(2,−5) 【解析】 【分析】

本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求得新抛物线的顶点坐标．

先求出抛物线的顶点坐标，再求得关于y轴对称的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的抛物线的顶点坐标即可． 【解答】

解：∵抛物线𝑦=(𝑥−1)2−5的顶点坐标是(1,−5)，将抛物线𝑦=(𝑥−1)2−5关于y轴对称，

∴顶点坐标是(−1,−5)，

∴再向右平移3个单位长度后的抛物线的顶点坐标为(2,−5)． 故答案为：(2,−5)．

18. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，

第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是______个．

【答案】92

【解析】解：因为第1个图形中一共有1×(1+1)+2=4个圆， 第2个图形中一共有2×(2+1)+2=8个圆， 第3个图形中一共有3×(3+1)+2=14个圆， 第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是𝑛(𝑛+1)+2； 所以第9个图形中圆的个数9×(9+1)+2=92． 故答案为：92．

根据图形得出第n个图形中圆的个数是𝑛(𝑛+1)+2进行解答即可．

第11页，共27页

考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，上面圆的个数为2是解决本题的关键．

19. 在半径为√5的⊙𝑂中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，𝐴𝐵=𝐶𝐷=4，则

𝑆△𝐴𝐶𝑃=______． 【答案】2或2或2

【解析】解：作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝑂𝐹⊥𝐶𝐷于F，连结OD、OB， 则𝐴𝐸=𝐵𝐸=2𝐴𝐵=2，𝐷𝐹=𝐶𝐹=2𝐶𝐷=2， 如图1，

1

1

1

3

9

在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐸中，∵𝑂𝐵=√5，𝐵𝐸=2， ∴𝑂𝐸=√𝑂𝐵2−𝐵𝐸2=1， 同理可得𝑂𝐹=1， ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，

∴四边形OEPF为矩形， ∴𝑃𝐸=𝑃𝐹=1， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐶=1， ∴𝑆△𝐴𝑃𝐶=×1×1=；

22如图2，

1

1

同理：𝑆△𝐴𝑃𝐶=2×3×3=2； 如图3，

19

第12页，共27页

同理：𝑆△𝐴𝑃𝐶=2×1×3=2； 故答案为：2或2或2．

如图1，作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝑂𝐹⊥𝐶𝐷于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到𝐴𝐸=𝐵𝐸=2𝐴𝐵=2，𝐷𝐹=𝐶𝐹=2𝐶𝐷=2，根据勾股定理在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐸中计算出𝑂𝐸=1，同理可得𝑂𝐹=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到𝑃𝐴=𝑃𝐶=1，根据三角形面积公式求得即可．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

20. 如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD

上，若∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐸𝐵𝐶，𝐴𝐵=3𝐴𝐸，则下列结论： ①𝐷𝐹=𝐹𝐶； ②𝐴𝐸+𝐷𝐹=𝐸𝐹； ③∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐶； ④∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐵𝐹=45°； ⑤∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐵𝐹𝐶； ⑥𝐷𝐹：DE：𝐸𝐹=3：4：5； ⑦𝐵𝐹：𝐸𝐹=3√5：5． 其中结论正确的序号有______． 【答案】①②③④⑤⑥⑦

【解析】解：如图，过点B作𝐵𝐻⊥𝐸𝐹于H． ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠𝐴=∠𝐶=∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐵𝐶， ∵∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐸𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐵𝐸𝐹，

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1

1

1

3

9

13

∵𝐵𝐴⊥𝐴𝐸，𝐵𝐻⊥𝐸𝐹， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐻=𝐵𝐶，

∵∠𝐴=∠𝐵𝐻𝐸=∠𝐵𝐻𝐹=∠𝐶=90°，𝐵𝐸=𝐵𝐸，𝐵𝐹=𝐵𝐹， ∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≌𝑅𝑡△𝐻𝐵𝐸(𝐻𝐿)，𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐻≌𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐶(𝐻𝐿)， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐻，𝐹𝐻=𝐶𝐹，∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐶，故③正确， ∴𝐴𝐸+𝐶𝐹=𝐸𝐻+𝐻𝐹=𝐸𝐹， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐻𝐵𝐸，∠𝐹𝐵𝐻=∠𝐹𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐵𝐹=45°，故④正确，

∵∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐴𝐸𝐻=180°，∠𝐴𝐸𝐻+∠𝐴𝐵𝐻=180°， ∴∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐻，

∴∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐹𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐹𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐹， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐵𝐹𝐶，

∴∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐵𝐹𝐶，故⑤正确， ∵𝐴𝐵=3𝐴𝐸，

∴可以假设𝐴𝐸=𝑎，𝐷𝐸=2𝑎，则𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=3𝑎，设𝐷𝐹=𝑥，则𝐹𝐻=𝐶𝐹=3𝑎−𝑥，𝐸𝐹=𝑎+3𝑎−𝑥=4𝑎−𝑥， ∵𝐸𝐹2=𝐷𝐸2+𝐷𝐹2，

∴(4𝑎−𝑥)2=(2𝑎)2+𝑥2

解得𝑥=2𝑎，

∴𝐷𝐹=𝐶𝐹，故①正确， ∴𝐴𝐸+𝐷𝐹=𝐸𝐹，故②正确， ∴𝐷𝐹=2𝑎，𝐷𝐸=2𝑎，𝐸𝐹=𝑎，

2∴𝐷𝐹：DE：𝐸𝐹=3：4：5，故⑥正确， ∵𝐵𝐹=√𝐵𝐶2+𝐶𝐹2=√(3𝑎)2+(𝑎)2=

23

3√5

𝑎， 2

3

5

3

∴𝐵𝐹+𝐸𝐹=

53√5

𝑎：2𝑎2

=3√5：5，故⑦正确．

故答案为①②③④⑤⑥⑦．

如图，过点B作𝐵𝐻⊥𝐸𝐹于𝐻.利用角平分线的性质定理证明𝐵𝐴=𝐵𝐻，再利用HL证明𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≌𝑅𝑡△𝐻𝐵𝐸(𝐻𝐿)，𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐻≌𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐶(𝐻𝐿)，利用全等三角形的性质，一一𝐷𝐸=2𝑎，判断即可得出③④⑤正确，设𝐴𝐸=𝑎.则𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=3𝑎，设𝐷𝐹=𝑥，则𝐶𝐹=3𝑎−𝑥，利用勾股定理求出x即可判断①②⑥⑦正确．

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本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分） 21. 先化简，再求值：

113−𝑥

−

𝑥2+6𝑥+9𝑥2+3𝑥

÷

𝑥2−92𝑥

，其中𝑥=1−2𝑡𝑎𝑛45°．

【答案】解：原式=3−𝑥−𝑥(𝑥+3)⋅(𝑥−3)(𝑥+3)

==

=−𝑥−3，

当𝑥=1−2𝑡𝑎𝑛45°=1−2=−1， 原式=−−1−3=−4．

【解析】直接利用分式的混合运算法则化简进而把x的值代入求出答案． 此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．

22. 已知抛物线𝑦=𝑎(𝑥−2)2+𝑐经过点𝐴(−2,0)和点

𝐶(0,)，与x轴交于另一点B，顶点为D．

4(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； F分别在线段AB，BD上(点E不与点A，(2)如图，点E，

B重合)，且∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐷𝐴𝐵，𝐷𝐸=𝐸𝐹，直接写出线段BE的长． 【答案】解：(1)将点𝐴(−2,0)，𝐶(0,4)代入 𝑦=𝑎(𝑥−2)2 +𝑐， 16𝑎+𝑐=0

得：{4𝑎+𝑐=9， 𝑎=−

16， 解得：{

𝑐=3

∴抛物线的解析式为𝑦=−16(𝑥−2)2+3，即𝑦=−16𝑥2+4𝑥+4； ∴顶点D的坐标为(2,3)；

(2)当𝑦=0时，−16(𝑥−2)2+3=0， 解得：𝑥1=−2，𝑥2=6， ∴𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)，

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3

3

3

3

9

43

9

93

3

3

(𝑥+3)2

2𝑥

12

−

3−𝑥𝑥−3−1−2

𝑥−3

∵∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐸𝐹，

∵𝐴𝐷=√(2+2)2+32=5，𝐵𝐷=√(6−2)2+32=5， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐸𝐵𝐹， ∵𝐷𝐸=𝐸𝐹，

∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐷=5．

【解析】(1)利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．

(2)根据𝑦=0，解方程可得A和B两点的坐标，根据两点的距离公式可得𝐴𝐷=𝐵𝐷=5，证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)，可得结论．

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想解决问题．

23. 等腰三角形ABC中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，∠𝐵𝐴𝐶=45°，以AC为腰作等腰直角三角形

ACD，∠𝐶𝐴𝐷为90°，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离． 【答案】解：本题有两种情况： 如图1，过点A作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点E， ∵△𝐴𝐶𝐷等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐷=45°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐶， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛45°=4×

√2

2

=2√2，

∴点B到CD的距离为：2√2；

第16页，共27页

如图2，AB、CD交于点E， ∵△𝐴𝐶𝐷等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐶=45°， ∴∠𝐴𝐸𝐶=90°， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛45°=4×

√22

=2√2，

∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=4−2√2． ∴点B到CD的距离为4−2√2．

综上所述：点B到CD的距离为2√2或4−2√2．

【解析】根据题意画出图形，分两种情况根据等腰直角三角形的性质即可求得点B到CD的距离．

本题考查了作图−复杂作图、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．

24. 为了解本校学生对新闻(𝐴)、体育(𝐵)、动画(𝐶)、娱乐(𝐷)、戏曲(𝐸)五类电视节目

的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：

(1)本次接受问卷调查的学生有______名； (2)补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，B类节目所对应的扇形圆心角的度数为______度； (4)该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

【答案】100 72

【解析】解：(1)本次接受问卷调查的学生有：36÷36%═100(名)， 故答案为：100；

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(2)喜爱C类的有：100−8−20−36−6=30(名)， 补全的条形统计图如右图所示；

(3)扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为：360°×100=72°， 故答案为：72；

(4)2000×

8100

20

=160(名)，

答：估计该校最喜爱新闻节目的学生有160名．

(1)根据D类的人数和所占的百分比可以求得本次调查的学生人数； (2)求出C类的人数，即可将条形统计图补充完整；

(3)根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数； (4)根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

25. A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车

从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程𝑦(单位：千米)与驶的时间𝑡(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车的速度是______千米/时，在图中括号内填入正确的数；

(2)求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围； (3)直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．

【答案】60

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【解析】解：(1)由题意，甲的速度为

48080

4808

=60千米/小时．乙的速度为80千米/小时，

=6(小时)，4+6=10(小时)，

∴图中括号内的数为10． 故答案为：60．

(2)设线段MN所在直线的解析式为 𝑦=𝑘𝑡+𝑏 ( 𝑘≠0 )． 把点𝑀(4,0)，𝑁(10,480)代入𝑦=𝑘𝑡+𝑏， 4𝑘+𝑏=0得：{，

10+𝑏=480+𝑐𝑘=80

解得：{．

𝑏=−320

∴线段MN所在直线的函数解析式为𝑦=80𝑡−320．

(3)(480−460)=20， 20÷60=3(小时)，

或60𝑡−480+80(𝑡−4)=460， 解得𝑡=9，

答：甲车出发3小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米． (1)利用图中信息解决问题即可． (2)利用待定系数法解决问题即可． (3)分两种情形分别求解即可解决问题．

本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

∠𝐸=∠𝐵𝐷𝐶，26. △𝐴𝐵𝐶中，点D在直线AB上．点E在平面内，点F在BC的延长线上，

𝐴𝐸=𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐹=180°； (1)如图①，求证𝐴𝐷+𝐵𝐶=𝐵𝐸；

(2)如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明； (3)若𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，tan∠𝐵𝐶𝐷=4，𝐶𝐷=10，则𝐴𝐷=______．

3

11

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【答案】14−6√2或2+6√2

【解析】解：(1)证明：∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐹=180°，∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐹=180°， ∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷， ∵∠𝐸=∠𝐵𝐷𝐶，𝐴𝐸=𝐶𝐷， ∴△𝐸𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐵， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶，

∴𝐴𝐷+𝐵𝐶=𝐴𝐷+𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐵𝐸；

(2)①图②结论：𝐵𝐶−𝐴𝐷=𝐵𝐸，

证明：∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐹=180°，∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐹=180°， ∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷， ∵∠𝐸=∠𝐵𝐷𝐶，𝐴𝐸=𝐶𝐷， ∴△𝐸𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐵， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶，

∴𝐵𝐶−𝐴𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐸；

②图③结论：𝐴𝐷−𝐵𝐶=𝐵𝐸；

证明：∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐹=180°，∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐹=180°， ∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷， ∵∠𝐸=∠𝐵𝐷𝐶，𝐴𝐸=𝐶𝐷， ∴△𝐸𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐵(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶，

∴𝐴𝐷−𝐵𝐶=𝐴𝐷−𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐵𝐸；

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(3)①如图2，

过点D作𝐷𝐺⊥𝐵𝐶于G， 在𝑅𝑡△𝐶𝐺𝐷中，tan∠𝐵𝐶𝐷=4， ∴

𝐷𝐺𝐶𝐺

3

=， 4

3

设𝐷𝐺=3𝑥，𝐶𝐺=4𝑥，

根据勾股定理得，𝐷𝐺2+𝐶𝐺2=𝐶𝐷2， ∴9𝑥2+16𝑥2=100， ∴𝑥=2(舍去负值)， ∴𝐶𝐺=8，𝐷𝐺=6， 由(2)①知，△𝐸𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐷， ∵𝐵𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝐸=90°，

∴∠𝐶𝐵𝐷=45°=∠𝐵𝐷𝐺， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐺=6，𝐵𝐷=6√2， ∴𝐵𝐶=𝐵𝐺+𝐶𝐺=14， 由(2)①知，𝐵𝐶−𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=14−6√2；

②如图3，

过点D作𝐷𝐺⊥𝐵𝐶于G，

𝐶𝐹=8，𝐵𝐺=𝐷𝐺=6，同①的方法得， 𝐵𝐷=6√2，∴𝐵𝐶=𝐶𝐺−𝐶𝐺=2， 由(2)②知，𝐴𝐷−𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶+𝐵𝐷=2+6√2； 故答案为：14−6√2或 2+6．

(1)先利用互补判断出∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵=进而判断出△𝐸𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐵，得出𝐵𝐸=𝐵𝐷，𝐵𝐶，即可得出结论；

(2)同(1)的方法即可得出结论；

(3)先利用三角函数和勾股定理求出𝐶𝐺=8，𝐷𝐺=6，再求出𝐵𝐺=𝐷𝐺=6，𝐵𝐷=6√2，进而得出𝐵𝐶=𝐵𝐺+𝐶𝐺=14或𝐵𝐶=𝐶𝐺−𝐵𝐺=2，最后借助(2)的结论即可得出结论．

第21页，共27页

此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，判断出△𝐸𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐵是解本题的关键．

B两种型号电脑，27. 某商场准备购进A、每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500

元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：

(1)𝐴，B型号电脑每台进价各是多少元？

(2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台B型号电脑售价为1800元，商场决定B两种型号电脑20台，同时购进A，且全部售出，请写出所获的利润𝑦(单位：元)与A型号电脑𝑥(单位：台)的函数关系式，若商场用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？

(3)在(2)问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台．

【答案】解：(1)设每台A型号电脑进价为a元，每台B型号电脑进价为(𝑎−500)元， 由题意，得

40000𝑎

=𝑎−500，

30000

解得：𝑎=2000，

经检验𝑎=2000是原方程的解，且符合题意． ∴2000−500=1500(元)．

答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元； (2)由题意，得 𝑦=(2500−2000)𝑥+(1800−1500)(20−𝑥)=200𝑥+6000， ∵2000𝑥+1500(20−𝑥)≤36 000， ∴𝑥≤12． 又∵𝑥≥10， ∴10≤𝑥≤12， ∵𝑥是整数， ∴𝑥=10，11，12， ∴有三种方案；

(3)∵𝑦=200𝑥+6000是一次函数，y随x的增大而增大， ∴当𝑥=12时，y有最大值=12×200+6000=8400元， 设再次购买的A型电脑b台，B型电脑c台， ∴2000𝑏+1500𝑐≤8400，且b，c为非负整数，

第22页，共27页

∴𝑏=0，𝑐=5或𝑏=1，𝑐=4或𝑏=2，𝑐=2或𝑏=3，𝑐=1或𝑏=4，𝑐=0， ∴捐赠A，B型号电脑总数最多是5台．

(1)设每台A型号电脑进价为a元，【解析】每台B型号电脑进价为(𝑎−500)元，由“用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同”列出方程即可求解；

(2)所获的利润=𝐴型电脑利润+𝐵型电脑利润，可求y与x关系，由“用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台”列出不等式，即可求解； (3)由一次函数的性质可求最大利润，设再次购买的A型电脑b台，B型电脑c台，可得2000𝑏+1500𝑐≤8400，可求整数解，即可求解．

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．

28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O

为坐标原点，𝐴𝐵//𝑂𝐶，线段OA，AB的长分别是方程𝑥2−9𝑥+20=0的两个根(𝑂𝐴<𝐴𝐵)，tan∠𝑂𝐶𝐵=3． (1)求点B，C的坐标；

(2)𝑃为OA上一点，Q为OC上一点，𝑂𝑄=5，将△𝑃𝑂𝑄翻折，使点O落在AB上的点𝑂′处，双曲线𝑦=𝑥的一个分支过点𝑂′.求k的值；

(3)在(2)的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以𝑂′，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

𝑘

4

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【答案】解：(1)解方程：𝑥2−9𝑥+20=0，

(𝑥−4)(𝑥−5)=0， 得𝑥1=4，𝑥2=5， ∵𝑂𝐴<𝐴𝐵， ∴𝑂𝐴=4，𝐴𝐵=5，

如图1，过点B作𝐵𝐷⊥𝑂𝐶于点D， ∵tan∠𝑂𝐶𝐵=，𝐵𝐷=𝑂𝐴=4，

3∴𝐶𝐷=3， ∵𝑂𝐷=𝐴𝐵=5， ∴𝑂𝐶=8，

∴点B的坐标为(5,4)，点C的坐标为(8,0)；

(2)如图2，∵𝐴𝐵//𝑂𝐶，𝑂𝑄=𝐴𝐵=5，∠𝐴𝑂𝑄=90°，

4

∴四边形AOQB为矩形． ∴𝐵𝑄=𝑂𝐴=4，

由翻折，得𝑂𝑄=𝑂′𝑄=5，

∴𝑂′𝐵=√𝑂′𝑄2−𝑄𝐵2=√52−42=3， ∴𝐴𝑂′=2， ∴𝑂′(2,4)，

第24页，共27页

∴𝑘=2×4=8； (3)存在． 分四种情况：

①如图3，M在x轴的正半轴上，四边形𝑁𝑂′𝑀𝑄是矩形，此时N与B重合，则𝑁(5,4)；

②如图4，M在x轴的负半轴上，四边形𝑁𝑀𝑂′𝑄是矩形，过𝑂′作𝑂′𝐷⊥𝑥轴于D，过N作𝑁𝐻⊥𝑥轴于H，

∵四边形𝑁𝑀𝑂′𝑄是矩形， ∴𝑀𝑁=𝑂′𝑄=5，𝑀𝑁//𝑂′𝑄， ∴∠𝑁𝑀𝑂=∠𝐷𝑄𝑂′， ∵∠𝑁𝐻𝑀=∠𝑄𝐷𝑂′=90°， ∴△𝑁𝐻𝑀≌△𝑂′𝐷𝑄(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑁𝐻=𝑂′𝐷=4，𝐷𝑄=𝑀𝐻=3， 由(2)知：𝐴𝑂′=2，

设𝑃𝑂=𝑥，则𝑂′𝑃=𝑥，𝐴𝑃=4−𝑥，

在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝑂′中，由勾股定理得：𝐴𝑃2+𝐴𝑂′2=𝑂′𝑃2， 即𝑥2=22+(4−𝑥)2，

第25页，共27页

解得：𝑥=2， ∴𝑃(0,)，

25

5

设𝑃𝑄′的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 𝑘=4

𝑏=

2则{，解得：{5，

𝑏=2𝑘+𝑏=42

5

3

∴𝑃𝑄′的解析式为：𝑦=4𝑥+2， 当𝑦=0时，4𝑥+2=0， ∴𝑥=−3， ∴𝑂𝑀=

10310

3

5

35

，

103

∴𝑂𝐻=𝑂𝑀−𝑀𝐻=∴𝑁(−3,−4)；

1

−3=，

3

1

③如图5，M在y轴的正半轴上，四边形𝑀𝑁𝑄𝑂′是矩形，

由②知：𝑀(0,2)，𝑂′(2,4)，𝑄(5,0)， ∴𝑁(3,−2)；

④如图6，M在y轴的负半轴上，四边形𝑀𝑁𝑂′𝑄是矩形，过𝑂′作𝑂′𝐷⊥𝑥轴于D，

3

5

第26页，共27页

∵∠𝑀𝑂𝑄=∠𝑄𝐷𝑂′，∠𝑂𝑀𝑄=∠𝐷𝑄𝑂′， ∴△𝑀𝑂𝑄∽△𝑄𝐷𝑂′， ∴

𝑂𝑀𝑄𝐷

=

，即𝐷𝑂′

154

𝑂𝑄𝑂𝑀3

=4，

5

∴𝑂𝑀=

，

∴𝑀(0,−4)， ∵𝑂′(2,4)，𝑄(5,0)， ∴𝑁(−3,4)，

综上，点N的坐标为：𝑁(5,4)或(−3,−4)或(3,−2)或(−3,4).

【解析】(1)先利用因式分解法解方程𝑥2−9𝑥+20=0可得到𝑂𝐴=4，𝐴𝐵=5，作辅助线，构建直角三角形，根据已知三角函数定义可解答；

(2)先证明四边形OABQ是矩形，根据翻折和矩形的性质，勾股定理计算𝑂′(2,4)，可得k的值；

(3)确定M为坐标轴上一点，画出符合条件的矩形，根据三角形全等，相似或平移的规律求点N的坐标．

本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质，三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定，一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用平移的规律求矩形中一个顶点的坐标，学会运用分类讨论的思想解决数学问题．

1

3

1

1

15

第27页，共27页