尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第4章 效用最大化与选择)

第4章 效用最大化与选择

课后习题详解

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1．三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢Twinkie（t）和苏打水（s），他从中得到的效用为：Ut,sts。

（1）如果每份Twinkie为0.1美元，苏打水每瓶为0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？

（2）学校为了减少Twinkie的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与（1）中相同的效用，妈妈现在要给他多少伙食费？

解：（1）对效用函数Ut,sts进行单调变换，令Vt,sUt,sts，这并不改变偏好次序。

保罗效用最大化问题为：

max tss.. 0.1tt0.25s12

设拉格朗日函数为：

Ls,t,ts  10.1t 0.25s

一阶条件为：

Ls0.10tL t0.250sL  10.1t 0.25 s  0解得：s2，t5。

因此，他所获得的效用：U10。

（2）消费品Twinkie价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：

min0.4t0.25ss..tts10

设拉格朗日函数为：

Ls,t,0.4t0.25s10ts

一阶条件为：

L0.4s0 （1） tL0.25t （2） sL10ts0 （3） 由上述三式解得t2.5，s4，则最小支出为：m10.42.50.2542，所以妈妈现

在要给他2美元伙食费使他的效用水平保持不变。

2．（1）一位年轻的品酒师欲支出300美元建一小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的昂贵的法国波尔多白葡萄酒（wF），每瓶价格为20美元；另一种是稍微便宜的2002年产的加利福利亚葡萄酒（wC），每瓶4美元。如果他的效用函数如下式所示，则他将在每种酒上花多少钱？

2/31/3UwF,wCwFwC

（2）当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，1997年产的法国波多尔

白葡萄酒（wF）已经降到每瓶10美元。如果加利福尼亚葡萄酒依然是每瓶4美元，此时，在价格已变的情况下，为了实现最大效用，他每种酒的购买量应该是多少？

（3）请解释为什么该品酒师在（2）中比（1）中的状况要好。你如何用货币值来衡量效用的增加？

解：（1）该品酒师的效用最大化问题为：

2/31/3maxwFwCs.. 20twF4wC300

设拉格朗日函数为：

2/31/3LwFwC  300 20wF 4wC

一阶条件为：

L1/32/3wC/wF200wFL2/31/3wF/wC40 wCL300 20wF4wC0从而可以解得：wF10，wC25。

因此为使效用最大化，该品酒师应该在法国白葡萄酒上花200美元，在加利福利亚葡萄酒上花100美元。

（2）当法国波多尔白葡萄酒价格下降时，品酒师的效用最大化问题变为：

2/31/3maxwFwCs.. 10twF4wC300

设拉格朗日函数为：

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2/31/3LwF wC   300 10wF 4wC

一阶条件为：

L1/32/3wC/wF100wFL2/31/3wF/wC40 wCL300 10wF 4wC 0解得：wF20，wC25。故价格变化后，为实现最大效用，品酒师应购买法国白葡萄酒20瓶，购买加利福尼亚葡萄酒25瓶。

（3）在（1）中，品酒师的效用为：UwF,wCwF2/3wC1/3102/3251/313.5； 在（2）中，品酒师的效用为：UwF,wCwF2/3wC1/3202/3251/321.5。 因而为了实现（2）中的效用水平，此人需要更多的收入。

根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，品酒师对两种葡萄酒的需求函数分别为：

xFxC2I 3PFI 3PC2/3代入效用函数可得他的间接效用函数为：VPF,PC,I2/3现在有21.52/32/31/3PF2/3PC1/3I。

1/31/31/32/31/3IpFpCI2/32/3202/341/3I，从而可以解得收入为：

I482。在此收入下，该品酒师者将购买的商品数量为：wF16.1，wC40.1，获得的效

用为U21.5。

3．（1）在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（c）和白兰地（b）：

Uc,b20cc218b3b2

那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用？（假定他不受预算约束）

（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄？

解：（1）在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：

maxUc,b20cc218b3b2

效用最大化的一阶条件为：

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真题及详解

U202c0 cU186b0 c解得c10，b3。从而可知J.P.所获得的最大效用为：U127。 （2）J.P.所受的约束为：bc5，此时他的效用最大化问题为：

maxUc,b20cc218b3b2

s.t. bc5设拉格朗日函数为：

L20cc218b3b25cb

一阶条件为：

L  20 2c   0 cL  18 6b  0 bL  5cb  0 从而可以解得：b1，c4，U79。 4．（1）奥德鲍尔先生享用商品x和y所得的效用函数为：

Ux,yx2y2 如果PX3美元，PY4美元，而他的总收入为50美元，求他所能得的最大效用？ 提示：求U2的最大值要比求U的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？

（2）画出奥德鲍尔的无差异曲线，并做出无差异曲线与预算线的切点，曲线图是如何描述奥德鲍尔的行为的？你能找到真正的最大值吗？

解：（1）因为U2可由U经过单调变换得到，所以，最大化U2同时也就使U最大化。因此，奥德鲍尔的效用最大化问题可以表述为：

maxU2x,yx2y2s.. 3tx4y50

最优化问题的拉格朗日函数为：

Lx2y2503x4y

一阶条件为：

L  2x3  0xL  2y  4  0yL  503x 4y0从而可以解得：x6，y8，U10。

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（2）奥德鲍尔的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的MRS。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的A点所示。在A点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而A点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是B点，奥德鲍尔将其所有的收入用于购买x，而y商品的购买量为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。

图4-5 奥德鲍尔的无差异曲线图

5．A先生从马丁尼酒（m）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：Umm。 A先生特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（g）与苦艾酒（v）按2∶1的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：

gUmUg,vmin,v

2（1）画出A先生以g与v为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。

（2）求出对g与v的需求函数。

（3）利用（2）的结论，求出A先生的间接效用函数。

（4）试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成Pg和Pv的函数。 解：（1）A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品g与v的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足

g

v也即g2v的点。 2

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真题及详解

图4-6 A先生的无差异曲线

（2）将g2v代入预算约束可得：

PggPvvI

从而可以解得：v  I2I，g  。

2Pg Pv2Pg PvI2I或g  代入效用函数中，得间接效用函数

2Pg Pv2Pg Pv（3）因为Ug/2v，将v  为VPg,Pv,II。

2PgPv（4）利用对偶性可得，支出函数为：

EPg,Pv,UI2PgPvU

6．假设一位快餐食品爱好者从以下三种商品中获得效用：软饮料（x），汉堡包（y）和圣代冰淇淋（z），他的效用函数为柯布—道格拉斯型的，即：

Ux,y,zx0.5y0.51z

0.5同时假设三种商品的价格分别为：Px0.25，Py1，Pz2，该消费者的收入为I2。 （1）证明：对于z0，效用最大化的结果将与例4.1相同。此外，任何导致z0（甚至是微小的z）的选择都将导致最优结果的减小。

（2）你如何解释z0是最优的？

（3）为了使z的消费量大于0，消费者的收入应该有多高？

解：（1）如果x4，y1，则Uz02； 如果z1，则U0，因为xy0。

如果z略大于0（不妨设z0.1），则利用柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：

xy0.51.83.6 0.250.51.80.9 11.89Uz02

因而效用为：U3.60.91.10.50.50.5

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（2）在x4，y1，z0处，有：

MUx /Px MUy /Py  1，MUz /Pz  1/2

因而在z0处，从z获得的边际效用“不值”商品的价格。效用函数中的“1”导致了z在任何正的数量时已经具有递减的边际效用。商品z满足“互补松弛”原理。

（3）如果收入I10，则最优选择为：x16，y4，z1（可以利用拉格朗日方法求解，此处略去）。为了找到在任何z处的购买量，可以利用柯布-道格拉斯函数的性质，即：

1PxxPyyPz1zI

3从而可得：2Pz1zPzzI或3PzzI2Pz，因此，对于z0，必有I2Pz4。

7．对于柯布-道格拉斯效用函数Ux,yxy1（01）。

（1）求解此柯布-道格拉斯效用函数的间接效用函数。 （2）求解支出函数。

（3）考察用于抵消x价格上涨的影响所需的补偿如何与指数的大小有关。 解：（1）对于柯布-道格拉斯效用函数，其相应的需求函数为：

xI/Px，y1I/Py

将需求函数代入效用函数中，得间接效用函数为：

1IVPx,Py,I1IPBIPxPy1 yPx其中，B11。

（2）利用对偶原理，可以从间接效用函数中解出支出函数为：

EPx,Py,UIB1PxP1U

（3）支出关于价格Px的弹性值为：

pEpxB1Px1Py1U1x1。 pxEBPxPyU即：x在效用函数中越重要，则支出份额中用于补偿其价格上涨的比例也越大。

8．图4-7中所示的总额原则也可以应用于转移支付政策和税收方面。此题将考察这些原则的应用。

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图4-7 税收中的一次总付原则

（1）利用一个类似于图4-7的图来证明，相同数额的收入补贴比对商品x的补贴能够消费者带来更大的效用。

（2）利用方程4.52中所示的柯布-道格拉斯支出函数，计算消费者效用从U2提高至U3时所需增加的支出。

（3）再次利用方程4.52来估计消费者效用从U2增至U3时所需对商品x补贴的程度。如果将该成本与（2）中的成本进行比较？

（4）第7题要求你计算一个比例4.4中更为一般的柯布-道格拉斯效用函数相应的支出函数。利用支出函数，再次重做（2）与（3），其中0.3。

（5）如果我们利用固定比例情形下（方程4.54）的支出函数，此题的计算结果将如何变化？

解：（1）如图4-8所示，收入补贴可以使消费者的效用达到U3，而对x的商品补贴仅能使效用达到U2，因而相同数额的收入补贴比对商品x的补贴能够消费者带来更大的效用。

图4-8 收入补贴与商品补贴对消费者效用的影响

（2）对于方程4.52中的柯布-道格拉斯函数而言，其支出函数为：

0.50.5Epx,py,U2pxpyU

在px1，py4，U2下，支出为E8。当效用为U3时，支出为：E12，因而所需要增加的支出为4。

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0.50.5（3）现在，支出为E82px即px从而可以解得：px4/9。40.53 ，8/122/3，

也就是说，每单位x必须补贴5/9。在此补贴价格下，消费者将选择购买x9。所以总补贴金额为5，比（2）中的补贴额高1。

0.30.7pyU。 （4）当0.3时，支出函数为：Epx,py,U1.84px因而当px1，py4，U2时，E9.71。将效用增至3需要额外支付4.86。 而商品补贴则要求价格为px0.26，即每单位x补贴0.74元，在较低的价格下，消费者将选择x11.2，因而总的补贴额为8.29。

（5）方程4.54中的柯布-道格拉斯函数，其支出函数为：

Epx,py,Upx0.25pyU

在px1，py4，U2时，支出为E4。当效用为U3时，支出为E6，因而所需要增加的支出为2。

，在支出为4时，要满足效用水平为3，需要政府对价格进行补贴，假设补贴后价格为px1，解得px0.333，故每单位需要补贴0.667。 E43px在此价格下，消费者选择购买3个单位的x，政府补贴金额为2，价格补贴金额与在一

次总付补贴下一致，因为固定比例下，消费者需求是固定比例，价格变化没有扭曲消费者行为。

9．CES效用函数的一般形式为：

（1）证明：上述函数在约束条件下，效用最大化的一阶条件是消费者按一定比例选择商品，这个比例式为：

1Ux,yxyxpxypy1

（2）前面我们在讨论一些问题时已经知道，对于柯布—道格拉斯函数（0），消费

者将在x与y之间平等分配费用，证明（1）中的结论也包含了这种情况。

（3）pxx/pyy的值与的值有什么关系？直观地解释你的结论。 （4）利用拉格朗日方法求解此问题的支出函数。 答：（1）对于此CES效用函数而言，在效用最大化时，有：

UUy1 x1，

yx985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研

真题及详解

MRSU/x1x/ypx/py

U/y从而可以解得：

x/ypx/py1/1px/py

其中，1/1。

（2）如果0，则有x/ypy/px，因而有pxxpyy即消费者将在x与y之间平等分配费用。

（3）由（1）可知pxx/pyypx/py1m，其中，m为消费者收入，2，所以，当1时，收入中用于购买x的相对

份额与其相对价格正相关；当1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格负相关。

（4）支出最小化问题为：

minpxxpyy xys.t.u设拉格朗日函数为：

xyLpxxpyyu

一阶条件为：

Lpxx10xLpyy10 yLxyu0从而可以解得：

1pxxpy11u1px1p y1px1yu1

py所以，支出函数为：

11111pEpx,py,upxpypyu1x

py

10．消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为x0。一旦购买x0的食

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品，消费者将从x0与其他商品（y）得到效用：

Ux,yxx0y

其中，1。

（1）证明：如果Ipxx0，则为了取得最大效用，消费者将会在食品x上花费Ipxx0pxx0，在商品y上花费Ipxx0。解释这一结果。

（2）在这个问题上，如果收入增加，pxx/I，pyy/I的比值将会怎样变化？ 解：（1）如果xx0，则效用值为负，因而消费者将会首先支出pxx0。对于剩余的收入Ipxx0，这是一个标准的柯布-道格拉斯效用函数最大化问题，从而有：

pxxx0Ipxx0 pyyIpxx0

（2）由（1）以及预算约束条件可得：

pxx1pxx0

IIpyyIpxx0I

对I取极限可得：

limIpxx IlimIpyyI

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