文科概率大题(几何概率、古典概型)

几何概型

题组一 与长度有关的几何概型 1.已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率 是 ( ) 1111A. B. C. D. 109118

2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间的概率为 ( ) 1111A. B. C. D. 16842

3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计9

后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台

10每小时约有________分钟的广告．

题组二 与面积(或体积)有关的几何概型 4.(2009·辽宁高考)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ( ) ππππA. B．1－ C. D．1－ 44885．设－1≤a≤1，－1≤b≤1，则关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实根的概率是 ( ) 1111A. B. C. D. 248166．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 ( ) 1212A. B. C. D. 3399

x＋y－7．在区域x－y＋y≥0

2≤0，2≥0，

内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为

( )

ππππA. B. C. D. 28648．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.

1

(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．

题组三 生活中的几何概型 10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )

11．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．

1112A. B. C. D. 4323

12．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．

答案

2

1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝

1

.答案：A 10

2解析：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm9－61之间．线段AB的长度为12 cm，则所求概率为＝.答案：C

124

9

3解析：60×(1－)＝6分钟．答案：6

10

4解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O的距离小于等于1时，其是11以O为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为×π×12＝π，那么满足条件的概

221

π2π

率为：1－＝1－.答案：B

24

－1≤a≤1，

5解析：由题知该方程有实根满足条件－1≤b≤1，

a2－4b2≥0，

作平面

区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方 1形的面积，故概率为.

4答案：B

6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出 Ω所表示的平面区域为三角形AOB及其边界，A表示的 区域为三角形OCD及其边界．

容易求得D(4,2)恰为直线x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三线的交点． 11

则可得S△AOB＝×6×6＝18，S△OCD＝×4×2＝4.

22所以点P落在区域A的概率为答案：D

7解析：区域为△ABC内部(含边界)，则概率为

42

＝. 189

3

P＝

S半圆π

＝＝.

4S△ABC1

×22×22

π2

答案：D

8解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出 三个扇形(如图所示)，

当P落在阴影部分时符合要求． 1π

3×(××12)

233π

∴P＝＝. 632

×24答案：

9解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，

∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值， 即基本事件总数为12.

设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，

当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b. 当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 即A包含的基本事件数为6，

∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率 P(A)＝

61＝. 1223π 6

(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}， 这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.

设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为 M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}， 即图中阴影部分的梯形，其面积 1SM＝6－×2×2＝4.

2

4

SM42

由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝＝＝. SΩ63

11．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．

10解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3 cm，硬币半径为1 cm，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm，如图：

硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则1

硬币中心落在阴影部分的概率为.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概

31率是. 3答案：B

11解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)， π×12π

区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.

4×416π

答案： 16

12解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待． 以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一

艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如 图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的

正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得： 11

242－×222－×202

2267

P(A)＝＝. 224288

67

故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是.

288

5

古典概率模型的综合运用

概率1

1、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 83 86 数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀． （1）根据上表完成下面的22列联表（单位：人）：

物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合 计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计 20 （2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之

间有关系？

（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少

有一门不优秀的概率． 参考数据： 则随机变量K2nadbc2abcdacbd 2，其中nabcd为样本容量；

独立检验随机变量K的临界值参考表：

PKko 20.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ko 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

6

2、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：

0.025频率/组距车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80） 0.0200.015之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml

0.010（含80）以上时，属醉酒驾车．”

0.0052009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市

6002030405070一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时

共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 图甲 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画

开始出的频率分布直方图．

S＝0（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；

i＝1（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点

输入mi,fi值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者

S=S+mi×fii=i+1血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值， 并说明S的统计意义；（图乙中数据mi与fi分别表示图 i>=7 ？ 否 图乙

是酒精含量8090(单位:mg/100m甲中各组的组中值及频率）

输出S结束（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．

7

3、汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km).

甲 乙 80 100 110 120 120 x140 y150 160 经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙120g/km．

（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO2排放量的概率

是多少？ （Ⅱ）若90

4、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段

x130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．

40,50，50,60„90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下

列问题：

(1)求分数在70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；

（3）用分层抽样的方法在分数段为60,80的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段70,80的概率.

8

第18题图

5、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们

分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日 期 温差x（°C） 发芽数y（颗） 3月1日 10 23 3月2日 11 25 3月3日 13 30 3月4日 12 26 3月5日 8 16 （1）求这5天发芽数的中位数； （2）求这5天的平均发芽率；

（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，后面一天发芽种子数

25m30为n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足“”的概率.

25n30

6、一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：

（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；

（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数

之和为4分的概率．

9

7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40,50，50,60„90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在70,80内的频率，并补全 这个频率分布直方图；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的 平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为

60,80的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段70,80的概率.

第18题图

8、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生 女生 合计 喜爱打篮球 10 不喜爱打篮球 5 3合计 ５０ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．

5（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3,A4,A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考： p(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(adbc)2 (参考公式：K2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中nabcd)

10