关于发电机的数学建模

发电机使用计划的数学模型

四川理工学院

组员：薛 倩

王 军

周春花

2011-4-23

发电机使用计划的数学模型

摘 要

本文讨论如何合理计划使用发电机，使每天发电机的总成本最少的问题，是一个分段优化的问题。对这个问题时间分段较少时，所求出的最终值才会更精确，建立数学模型，利用lingo9.0软件编程求解。

对于问题一建立以发电机每天总成本最小值作为目标函数的整数规划模型1，从题目所给的已知条件、数据以及合理的假设条件，分析确定数学模型的约束条件，然后对此数学模型1利用lingo软件编程，求解该数学模型，找出最优解，得到每天发电机最小成本为xxxx元。

问题二在问题一的基础上，改变相应约束条件，同样运用模型1，修改lingo程序，求解找出最优解，解得发电机每天总成本为xxxx元。

问题三，要求在任意时刻，发电机组必须流出20%的发电能力力量，也即是要求实际输出功率的80%用于满足每日电力需求量，同样运用问题一中建立的模型，在lingo变成时对约束条件中的数据稍作修改，解得发电机每天总成本为xxxx元。

关键词: 分段优化 整数规划 最优解 最小总成本

一、问题的重述

为了满足每日电力的需求（单位：兆瓦），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表示：

表一 每日用电需求（兆瓦）

时段 0点-6点 6点-9点 9点-12点 需求 12000 32000 25000 12点-14点 35000 14点-18点 18点-22点 22点-24点 25000 30000 18000 每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于下表中。

表二 发电机相关数据 可用最小输出功最大输出固定成本每兆瓦边际启动成本数量 率（兆瓦） 功率（兆（元∕小成本（元∕（元） 瓦） 时） 小时） 型号1 10 750 1750 2250 2.7 5000 型号2 4 1000 1500 1800 2.2 1600 型号3 8 1200 2000 3750 1.8 2400 型号4 3 1800 3500 4800 3.8 1200 只有在某个时间段启动或者关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。以此，有如下几个问题：

（1） 在每个时间段应分别使用哪些发电机方能使每天的总成本最小？ （2） 如果型号2的发电机的可用数量变为6，则发电机的使用计划是否会

发生变化？ （3） 如果要求在任意时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力

余量，以防用电量突然上升，问发电机的使用计划如何？（选做）

二、问题的分析

此题主要是考虑的是一个最优解问题，也就是说此问题是一个分段优化的问题。对于此类问题，只有当时间分段较少时，所求出的最终值才会更精确。在本文中，发电机的型号、数量以及发电机在各个时间段的发电功率是不一致的，所以一般很难求出精确的结果。为此，在对所求解影响不大的前提下，我们需要作出一定的假设，从而通过有效的近似求解的方法得出具有一定代表意义的结果。

对于发电机的使用计划，根据已知的相关信息可知，发电机每天的使用成本与发电机的型号，各种发电机的使用数量、输出功率、启动的次数相关。为此，我们将每天分为7个时间段，而每天发电机使用的总成本就等于7个时间段发电机使用成本之和。尔后确定每个时间段发电机使用的型号、不同型号的发电机使用的数量以及相对应的输出功率。再把发电机的使用成本分为三个部分，即启动成本、固定成本及边际成本，据此建立每个时间段使用发电机所花费的成本的数学模型，从而求解出每天发电机使用的总成本。根据题中提供的的数据，由于每个时间段的使用的功率不同，如果正确的关闭或启动哪种型号的发电机是必须要考虑的问题。此外，发电机在第一时间段与后六个时间段的算法有所不同，故要分时段求出各时段的启动成本。

三、符号及变量说明

i： 表示时间段的参数，它的取值为：i=1，2，3，4，5，6，7。 j： 表示发电机型号的参数，它的取值为：j=1，2，3，4。 nij: 表示第i个时间段使用型号j发电机的数量。 ti: 表示发电机在第i个时间段的工作时间。 s: 表示每天发电机的工作总成本。

si: 表示发电机在第i个时间段的工作成本。

sij: 表示型号j发电机在第i个时间段的工作成本。 pi: 表示第i时间段的所需求的功率。 yj: 表示型号j发电机的最小输出功率。

xij: 表示第i个时间段型号j单个发电机的输出功率。 aj: 表示型号j发电机发电时的固定成本。

bj: 表示型号j发电机工作时每兆瓦的边际成本。 cj: 表示型号j单个发电机的启动成本。

dij: 表示第i个时间段型号j发电机的总启动成本。

四、问题的基本假设

1．发电机工作时它的输出功率不变；

2．发电机的最小输出功率与最大输出功率保持不变； 3．发电机在每个时间段启动或关闭时的时间不计； 4．不计发电机的自身损耗；

5．发电机组在传输电的过程中消耗的功率不计； 6．不计发电机在发电过程中的热消耗；

五、模型的建立和求解

问题一

1.1 模型的建立

1.1.1 每天7个时间段的总成本为：

s=s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7;

1.1.2 第i个时间段的成本为： si=si1+si2+si3+si4;

1.1.3 第i个时间段型号j发电机的成本为： sij=aj*nij+(xij-yj)*bj*ti*nij+dij;

1.1.4 第i个时间段型号j发电机的总启动成本为：

dij=cj*(n(i+1)j-nij) (注：①1<=i<=7,1<=j<=4;②只有当n(i+1)j>nij时，也才会产生启动成本，而当n(i+1)j<=nij时，它的启动成本为0元。) 1.1.5 第i个时间段所需要的用电量为：

pi=xi1*ni1+xi2*ni2+xi3*ni3+xi4*ni4;

1.1.6 目标函数 s

74j[a i1j1*nijxijyj*bj*ti*nijcj*n(i+1)jnij]；

s.t.

pi=xi1*ni1+xi2*ni2+xi3*ni3+xi4*ni4; 0<=ni1<=10; 0<=ni2<=4; 0<=ni3<=8; 0<=ni4<=3;

750<=xi1<=1750；

1000<=xi2<=1500; 1200<=xi3<=2000; 1800<=xi4<=3500. 注：结果取整数

1.2 模型的求解

通过Lingo程序，求解过程如附件一。 每天使用发电机的总成本最小，在每个时间段使用个各种时段用的各种型号的发

电机的数量见表一。

表一 型号1发电机使用的数量 型号2发电机使用的数量 型号3发电机使用的数量 型号4发电机使用的数量 第一时间段 第二时间段 第三时间段 第四时间段 第五时间段 第六时间段 第七时间段

问题二

2.1 问题的分析

其建立数学模型的思路与求解的过程与问题一一致，由于型号2发电机的数量发生了变化，使得其约束条件发生了改变。现根据所改变的数据重新求结果，将所求出的最优解与问题一求出的最优解相比较，从而得知发电机的使用计划是否发生改变。

2.2 模型的建立

目标函数 s

74j[a i1j1*nijxijyj*bj*ti*nijcj*n(i+1)jnij]；

s.t.

pi=xi1*ni1+xi2*ni2+xi3*ni3+xi4*ni4; 0<=ni1<=10； 0<=ni2<=6； 0<=ni3<=8； 0<=ni4<=3；

750<=xi1<=1750；

1000<=xi2<=1500； 1200<=xi3<=2000； 1800<=xi4<=3500. 注：结果取整数

2.3 模型的求解

通过Lingo程序，求解过程见附件二。

在有最优解时，所求出的各种型号的使用情况详见表二

表二

型号1发电机的使用数量 型号2发电机的使用数量 型号3发电机的使用数量 型号4发电机的使用数量 第一时间段 第二时间段 第三时间段 第四时间段 第五时间段 第六时间段 第七时间段 将表一与表二比较后得知，当型号2发电机的使用数量发生改变时，发电机的使用计划会发生改变。 问题三

3.1 问题的分析

题目要求在任意时刻，正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量，因此正在工作的发电机组以80%的发电能力，来满足任意时间段的用电需求。其数学模型建立的思路以及求解的方法与问题一相一致。 3.2 模型的建立

目标函数s

74j[a i1j1*nijxijyj*bj*ti*nijcj*n(i+1)jnij]；

s.t.

pi=xi1*ni1+xi2*ni2+xi3*ni3+xi4*ni4; 0<=ni1<=10; 0<=ni2<=4; 0<=ni3<=8; 0<=ni4<=3;

750<=xi1<=1750；

1000<=xi2<=1500; 1200<=xi3<=2000; 1800<=xi4<=3500.

3.3 模型的求解

通过Lingo程序，求解过程见附件三。 得出模型的最优解详见表三

表三 第一时第二时第三时第四时 间段 型号1发电机的使用数量 间段 间段 间段 第五时间段 第六时间段 第七时间段

型号2发电机的使用数量 型号3发电机的使用数量 型号4发电机的使用数量

六、模型的误差分析

本文针对发电机的使用计划问题，采用的是最优化算法，其中运用到的思想为分段思想。在建立模型以及计算当中，假设了发电机的输出功率不变，但是这实际上是做不到的；在实际问题中，开关发电机是存在着一定的时间的，这也会影响发电机的输出效率；以及电能在传输过程中的损耗，发电机的自身损耗，这些都会使我们用于计算的数据与实际数据产生一定的误差，从而导致运算结果与实际情况有一定的出入。

七、模型的评价

1 模型的优点

1.1 本文采用分段计算法，基于每天各个时间段的用电需求量不的同，以此计算出各个时间段各种型号的使用数量，使得每天发电机的使用总成本最小。

1.2 本文采用最优化算法，通过Lingo程序软件的计算得出，在每个时间段交替时候尽可能的只是关闭发电机，从而降低发电机的启动成本。

1.3 我们建立的数学模型，求出了第一天内发电机的使用计划。当然，在实际生活中，我们发电机的使用计划时间是比较长的，通过我们求得各个时间段各型号的发电机的使用数量分析来看，在24：00与00：00的交替过程中，只需要关掉几台发电机即可。第二天就依然可以按照第一天的使用计划方案继续工作，这样就构成了一个循环，无论使用计划多长时间都可以实现。

1.4 在整体中，运用Lingo程序软件中最优化算法来求得各时间段各型号发电机使用的数量使得发电机使用成本最低，是产家投入最少的资本获得最大的利润。 1.5 有顺序，有步骤地给出优化方案，把复杂的实际问题转化为简单化的数学问题，通俗易懂。 2 模型的不足

分段计算出的各型号发电机使用的数量，要用于下一个时间段启动成本的计算，因而前一段的计算的结果将影响到后一时间段的发电机使用的数量，所以每时段的计算务必要准确。而本题中设定的未知数较多，比较容易出错。本题所采用的算法所花费的时间比其他算法计算的时间较长。

八、模型的改进及推广

1.模型的改进

因为每个时间段中的计算误差都存在误差，所以尽量的减少分段的数量，以减小计算误差，来时的结果更加精确，从而减小计算出的结果与实际中的出入。 2 模型的推广

本文解决发电机使用计划问题的方案在对股票投资计划，银行存款利率，飞机场检票口检票与乘客拿取行李，超市收银台收费等问题中有着广泛的应用，所以改进和研究发电机使用计划问题对实际生活中的生产投资有着重要的意义的。

九、参考文献

[1] 王萼芳，石生明，高等代数（第三版），北京：高等教育出版社，2003。 [2] 蒋启源，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2008。 [3] （美）穆尔 著，高会生，刘童娜，Matlab实用教程（第二版），电子工业出版社，2010。

[4] ，lingo教程，

www.wenku.baidu.com/view/3be9888d0d233d4b14e697e.html，2011年4月25日

十、附录