经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷11 (总分52, 做题时间90分钟) 计算题 1. 若D= A d B 2d C 4d
D 8d
分值: 2 答案:D
解析：在已知D=|a ij |=d的条件下，通过行列式性质将D 1 还原为原行列式，即有D 1 2.
故选D． =d≠0，则D 1 = SSS_SINGLE_SEL=( )．
若n阶行列式D n = A 任意正整数 B 奇数 C 偶数
＜0，则n为( )． SSS_SINGLE_SELD 4k－1或4k－2，k=1，2，… 分值: 2 答案:D
解析：由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有D n =(－1) τ(n(n－1)…321) =(－1) [n(n－1)]／2 ， 若D n ＜0，则应有1／2n(n－1)为奇数，即n=4k－1或4k－2，k=1，2，…．故选D． 3.
设A，B均为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A －1 －B|=2，则|A－B －1 |=( )．
SSS_SINGLE_SEL A －3 B －2 C 2 D 3
分值: 2 答案:A
解析：由矩阵与行列式的关系，有 |A －1 －B|=|A －1 (E－AB)|=|A －1 ||E－AB|=2，|E－AB|=2|A|=6， 从而有 |A－B －1 |=|AB－E||B －1 |=(－1) 3 |E－AB||B －1 |=－6× =－3． 故选A． 4.
设α j 与β j 分别是n阶矩阵A的第j行元素构成的行向量和第j列元素构成的列向量，e j 是n阶单位矩阵E的第j列元素构成的列向量，则( )．
SSS_SINGLE_SEL A Ae i =α j B eja=α j C Ae j =β j D e j A=β j
分值: 2 答案:C
解析：选项C，依题设，A =(β 1 ，β 2 ，…，β n )，E=(e 1 ，e
2 ，…，e n )，于是有 A=AE=A(e 1 ，e 2 ，…，e n )=(Ae 1 ，Ae 2 ，…，Ae n )， 即有Ae j =β j (j=1，2，…，n)，故选C． 选项A，由A m×n (e j ) n×1 知是n×1的矩阵，而α j 是1×n的矩阵，显然两者不相等． 选项B，D，e j 是n×1的矩阵，A是n×n的矩阵，两者不能相乘． 5.
设A为n阶矩阵，且满足4(A－E) 2 =(A+2E) 2 ，则矩阵A，A－E，A－2E，A－3E中必定可逆的矩阵个数为( )．
SSS_SINGLE_SEL A 4 B 3 C 2
D 1
分值: 2 答案:B
解析：将方程展开并整理为A 2 －4A=O，从而有A(A－4E)=O，推得 |A||A－4E|=0． 同理，有(A－E)(A－3E)=3E，推得|A－E||A－3E|≠0； (A－2E) 2 =4E，推得|A－2E|≠0． 可以确定|A－E|≠0，|A－2E|≠0，|A－3E|≠0，即矩阵A－E，A－2E，A－3E必定可 逆，但无法判断矩阵A是否可逆，故选B． 6. E 2017 (1，2) E 2018 (2，3)=( )． SSS_SINGLE_SEL
A B C
D
分值: 2 答案:B
解析：由于E m (i，j) 因此有 故选B． 7.
设α 1 ，α 2 ，α 3 为同维向量，则下列结论不正确的是( )．
SSS_SINGLE_SEL A α 1 ，α 2 ，α 3 中任何一个向量均可被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示
B
若存在一组数k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =0，则α 1 ，α 2 ，α 3 必线性相关
C
若α 1 =2α 2 ，则α 1 ，α 2 ，α 3 必线性相关
D
若α 1 ，α 2 ，α 3 中有一个零向量，则α 1 ，α 2 ，α 3 必线性相关 分值: 2 答案:B
解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k 1 ，k 2 ，k 3 不全为零的情况下，满足k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =0，才能确定α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，所以该选项不正确，故应选B． 选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量α i (i=1，2，3)，不妨取α 1 ，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α 1 =1．α 1 +0．α 2
+0．α 3 ． 选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α 1 －2α 2 +0．α 3 =0，因此α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关． 选项D，不妨取α 1 =0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α 1 +0．α 2 +0．α 3 =0．因此α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关． 8.
设α 1 =(1，2，－1，0) T ，α 2 =(1，1，0，2) T ，α 3 =(2，1，1，a) T
，若α 1 ，α 2 ，α 3 的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )． SSS_SINGLE_SEL A 2 B 3 C 6 D 8
分值: 2 答案:C
解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是 解法1用初等变换．即由 (α 1 ，α 2 ，α 3 ) T 知当a=6时，α 1 ，α 2 ，α 3 的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C． 解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故 故当a=6时，α 1 ，α 2 ，α 3 的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C． 9.
设α 1 ，α 2 ，α 3 ，β均为4维向量，则下列结论正确的是( )．
SSS_SINGLE_SEL A 若β不能被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，则α 1 ，α 2 ，α 3 ，β必线性无关
B
若向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，β线性相关，则β可以被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示
C
β可以被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 的部分向量组线性表示，则可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示
D
β可以被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，则β可以被其任何一个部分向量组线性表示 分值: 2 答案:C
解析：选项C，β可以被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 的部分向量组线性表示，则必定可被整个向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，故选C． 选项A，α 1 ，α 2 ，α 3 可能是线性相关向量组，因此，α 1 ，α 2 ，α 3 ，β可能线性相关． 选项B，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，β线性相关，则其中必定有向量可以被其余向量线性表示，但这个向量未必是β． 选项D，β可以被向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，但未必可以被其任何一个部分向量组线性表示．如向量β=(1，1，1，0)可以被α 1 =(1，0，0，0)，α 2 =(0，1，0，0)，α 3 =(0，0，1，0)线性表示，但不能被其中任意两个向量线性表示． 10.
设四元齐次线性方程组SSS_SINGLE_SEL若该方程组仅有零解，则λ( )． A ≠1 B ≠－1 C ≠±1 D 可取任意实数
分值: 2 答案:C
解析：方程组的系数矩阵为 =1－λ 4 ， 又方程组仅有零解，从而知，λ≠±1．故选C． 11.
设A为n(n＞2)阶矩阵，A * 为A的伴随矩阵，若r(A * )=1，则方程组Ax=0的基础解系含无关解的个数是( )．
SSS_SINGLE_SEL A n B n－1 C 1
D 0
分值: 2 答案:C
解析：根据n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵A * 的秩的关系，当r(A * )=1时，r(A)=n－1．因此，齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含无关解的个数为n－r(A)=1，故选C． 12.
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若使齐次方程组ABx=0必有非零解，则( )． SSS_SINGLE_SEL A n＞m B n＜m C n=m
D m，n大小关系不确定 分值: 2 答案:B
解析：选项B，齐次方程组ABx=0必有非零解，即必须有r(AB)＜m．又由r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，知只有n＜m，才能确保r(AB)＜m成立，故选B同时也否定了选项D的正确性． 选项A，若n＞m，则
r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m，不能确保r(AB)＜m成立． 选项C，类似地，n=m不能确保r(AB)＜m成立． 13.
设方程组(Ⅰ) 解，则a=( )． A 2 B 1 C －1
(Ⅱ)－3x 1 +3x 2 －5x 3 =0，若两个方程组有公共非零
SSS_SINGLE_SEL
D －2
分值: 2 答案:D
解析：两个方程组有公共非零解，即两个方程组的联立方程组于是有14.
解得a=－2，故选D．
有非零解，计算行列式D n = SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：构造n+1阶加边行列式，有
15.
设n维向量α=(1／2，0，…，0，1／2)，矩阵A=E－α T α，C=E+2α T α，计算|AC|． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：由题设，α T α 解法1由AC=(E－α T α)(E+2α T α)=E+α T
α－2α T (αα T )α=E， 所以，|AC|=|E|=1． 解法2将行列式|A|按第一行展开，得|A|=|E－α T α| |AC|=|A||C|=1． 16.
类似地，有 |C|=|E+2α T α| 因此得设矩阵A= ，矩阵B满足方程ABA * =2BA * +E，其中A * 为A的伴随矩阵，求|B|． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：在方程两边右乘A，得ABA * A=2BA * A+A，由A * A=|A|E及
|A|=3，方程简化为3AB=6B+A，因式分解化为(3A－6E)B=A，再两边取行列式，有|3A－6E||B|=|A|=3，于是由 |3A－6E|= 9． 17.
=27，得|B|=3／|3A－6E|=1／
设α T = m≥3)． ，β=(3，2，1)，A=α T β，计算A m (m为正整数，且
SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：A=α T β β 18. 已知矩阵A=阵，求X ，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是3阶单位矩
于是，由矩阵乘法的结合律，有A m =3 m－1 α T
SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：将方程整理，有AX(A－B)=BX(A－B)+E，得(A－B)X(A－B)=E． 由于 |A－E|= 中，由 19. 设 =1≠0， 可知A－B可逆，因此 X=(A－B) －1 (A－B) －1 ， 其得(A－B) －1 故 X=(A－B) －1 (A－B) －1
A=B T CB． 求A 200 ． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：注意到B，C均为初等矩阵，且B=E(2，3)，C=E(13(－2))，故有 B
T
=B －1 =B，B 2 =E，C m =E(13(－2m))， 因此A 200 设向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，问：
SSS_TEXT_QUSTI20. α 1 能否被α 2 ，α 3 线性表示，证明你的结论；
分值: 2 答案:
正确答案：α 1 可以被α 2 ，α 3 线性表示．证明如下： 因为α 2 ，α
，α 4 线性无关，其部分组α 2 ，α 3 也线性无关，又α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，于是，α1可以被α 2 ，α 3 线性表示．
3
SSS_TEXT_QUSTI 21. α 4 能否被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，证明你的结论．
分值: 2 答案:
正确答案：α 4 不能被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示．证明如下： 用反证法．假设α 4 可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，即存在数k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 α 4 =k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 ， 由(1)，α 1 可以被α 2 ，α 3 线性表示，知α 4 可以被α 2 ，α 3 线性表示，即α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关，与 已知条件矛盾．故α 4 不能被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示． 解析：讨论向量组的线性关系，要准确把握线性相关概念的含义．如α 4 可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，即可写出α 1 ，α 2 ，α 3 线性表达式，在α 1 可以被α 2 ，α 3 线性表示的条件下，可推得α 4 可以被α 2 ，α 3 线性表示，即α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关． 22.
求向量组α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(1，0，－1) T ，α 3 =(0，1，1) T 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示．
SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：解法1由 (α 1 ，α 2 ，α 3 ) T 知α 1 ，α 2 为其一个最大无关组，且α 3 =α 1 －α 2 ． 解法2设存在常数k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =0，于是，由 (α 1 ，α 2 ，α 3 ) 1 ，α 2 为其一个最大无关组，解得α 3 =α 1 －α 2 ． 23.
知α
α 1 = ，讨论a为何值时， (1)β不能被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示； (2)β可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，且表达式唯一； (3)β可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，且表达式不唯一． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：设一组数k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =β， 则有 下面用两种解法求解． 解法1先求系数行列式，即 (1)
当a=0时，对增广矩阵施以初等行变换， 方程组无解，即β不能被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示． (2)当a≠0且a≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，且表达式唯一． (3)当a=1时， 方程组有无穷多解，即β可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，且表达式不唯一． 解法2直接由初等变换讨论，即 (1)当a=0时， 方程组无解，即β不能被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示． (2)当a≠0且a≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，且表达式唯一． (3)当a=1时， 方程组有无穷多解，即β可以被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，且表达式不唯一． 24. 设A=，求解线性方程组Ax=b． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：方程组的系数矩阵A对应的行列式是由元素1，2，－3，－1构造的范德蒙德行列式，则 =(－1－1)(－1－2)(－1+3)(－3－1)(－3－2)(2－1)
=240≠0， 故方程组有唯一解，由 类似地，D 3 =D 4 =0，因此，根据克拉默法则解得 x 1 =D 1 ／D=2，x 2 =x 3 =x 4 =D 4 ／D=0． 故x=(2，0，0，0) T
． 25.
设α 1 ，α 2 ，α 3 是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且
r(A)=3，α 1 =(1，2，3，4) T ，α 2 +α 3 =(0，1，2，3) T ，试求线性方程组Ax=b的通解． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 2 答案:
正确答案：依题设，r(A)=3，知方程组导出组的基础解系由一个无关解构成，即为原方程组两个特解的差，可利用线性方程组解的性质表示为2α 1 －(α 2 +α 3 )=(2，3，4，5) T ．又α 1 =(1，2，3，4) T 为原方程组的一个特解，因此，Ax=b的通解为 x=C(2，3，4，5) T +(1，2，3，4) T ，C为任意常数． 26.
已知二次三项式f(x)满足f(1)=1，f(－1)=8，f(2)=－3，求此二次三项式f(x)． SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2 答案:
正确答案：设该二次三项式f(x)=ax 2 +bx+c，从而有 列式 知方程组有解且有唯一解． 由 该方程组的系数行解得a=－1／6，b=－7／2，
c=14／3，因此，
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