第一章 推理与证明
走近学科思想
推理与证明是数学的基本思维过程, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式, 合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等 、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用; 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程, 演绎推理具有证明结论, 整理和构建知识体系的作用, 是公理体系中的基本推理方法.
§1 归纳与类比
在日常生活中, 人们常常需要进行各种各样的推理. 如医生诊断病人的病症, 警察侦破案件, 数学家论证命题的真假等, 其中都包含了推理活动. 在数学中, 证明的过程更离不开推理. 本节就开始学习有关数学推理的知识.
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一、推理
1. 推理的概念
根据一个或几个已知的事实(或假设 得出一个判断, 这种思维方式叫推理. 推理一般由两部分组成:前提和结论.
状元笔记 合情推理中, 当前提为真时, 结论可能为真, 也可能为假.
2. 合情推理
(1当前提为真时, 结论可能为真的推理, 叫做合情推理.
合情推理是指“合乎情理”的推理. 数学研究中, 得到一个新结论之前, 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论; 证明一个数学结论之前, 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向, 其推理过程为：
(2两种合情推理:归纳推理和类比推理.
二、归纳推理
1. 概念
根据一类事物的部分事物具有某种性质, 推出这类事物中每一个都具有这种属性的推理方式, 叫做归纳推理(有时简称归纳. 归纳推理是从个别到一般. 由部分到整体的过程. 状元笔记
归纳推理的前提与结论不具有必然性联系, 其结论不一定正确.
2. 特点
(1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象, 归纳所得的结论是尚属未知的一般现象, 该结论超越了前提所包容的范围.
(2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质, 结论是否真实, 还需要经过逻辑证明和实践检验. 因此, 它不能作为数学证明的工具.
(3归纳推理是一种具有创造性的推理. 通过归纳推理得到的猜想, 可以作为进一步研
究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题.
3. 归纳推理的步骤
其一般步骤为:(1通过观察个别情况发现某些相同性质;(2从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.
示例:已知:数列{an }的第1项a 1=1,且a n+1=n
n a a +1(n=1,2,3,„,试归纳出这个数列的通项公式.
思路分析：数列{an }的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系, 我们可以先根据已知条件算出数列{an }的前几项, 然后去归纳出一般性的公式.
解：当n=1时,a 1=1,当n=2时,a 2=21111=+, 当n=3时,a 3=3
121
11=+, 当n=4时,a 4=413
111
=+, „„ 通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数, 由此归纳出:an =n
1. 三、类比推理
1. 概念
两类不同对象具有某些类似的特征, 在此基础上, 根据一类对象的其他特征, 推断另一类对象也具有类似的其他特征, 这类推理叫做类比推理(简称类比.
类比推理是数学推理的一种重要形式, 它的实质是根据两对象之间的相似, 把信息从一个对象转移到另外一个对象, 类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法, 也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法. 这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用.
2. 特点
(1类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征, 推测正在被研究的事物的特征, 所以, 类比推理的结果具有猜测性, 不一定可靠.
(3类比推理以旧的知识作基础, 推测新的结果, 具有发现的功能. 类比推理在数学发现中有重要作用.
(4由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.
状元笔记
类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式, 目的是寻找事物之间的共同或相似性质, 它是一种似真推理. 类比推理的结论需要进一步证明其正确性, 类比的性质相似性越多, 相似的性质与推测的性质之间就越相关, 从而类比得出的结论就越可靠.
例如，据科学史上的记载, 光波概念的提出者, 荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较, 发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等. 又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态, 由此, 惠更斯作出推理, 光也可能有呈波动状态的属性, 从而提出了光波这一科学概念. 惠更斯在这里运用的推理就是类比推理.
3. 类比推理的步骤
其一般步骤为:(1找出两类事物之间的相似性或一致性;(2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的命题(猜想.
状元笔记
类比推理是两类事物特征之间的推理, 利用类比推理得出的结论可能是正确的, 也可能是错误的.
【示例】类比平面内正三角形的“三边相等, 三内角相等”的性质, 可推知正四面体的下列哪些性质, 你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A.① B.①② C.①②③ D.③
思路分析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱 和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角 类比, 所以①②③都恰当.
答案：C
高手支招2基础整理
推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式. 任何推理都由前提和结论两部分组成, 前提与结论的关系是理由与推断. 原因与结果的关系. 本节则主要讲述合情推理的两种类型:归纳推理和类比推理. 其主要知识结构如下
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