高考数列总复习(完整)

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数列基本概念

数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：

依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；

依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：an2、等差数列

1、定义 当nN,且n2 时，总有 an1an 2、通项公式 anf(n) d,(d常)，d叫公差。

a1(n1)d

3、前n项和公式

由 Sn相加得 Sna1a2an,Snanan1a1，

a1ann(n1)n， 还可表示为Snna1d,(d0)，是n的二次函数。 22特别的，由a1a2n12an 可得 S2n1(2n1)an。

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4、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的

等差中项．若bac，则称b为a与c的等差中项． 2* 5、等差数列的性质：

（1）mnpq（m、n、p、q），则am*anapaq；

apaq．

特别地，若2npq（n、p、q），则2an（2）Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列． （3）若项数为2nn*，则S偶S奇nd，．

S奇n（4）若项数为2n1n，则S2n12n1an， S偶n1*

3、等比数列

1、 定义 当nN,且n2 时，总有

anq(q0) , q叫公比。 an1, 在等比数列中，若

2、 通项公式：

ana1qn1amqnmmnpq2r , 则

amanapaqar2.

3、 、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中

项．若Gab，则称G为a与b的等比中项． 4、 等比数列的前n项和的性质：

（1）mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数

*2列，且2npq（n、p、q），则an*2apaq．

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列。

5、 前n项和公式: 由 Sna1a2an,qSna2a3anan1， 两式相减，

a1(1qn)a1anq,(q1) ；当q1时 ，snna1 。 当 q1时，S1q1q 关于此公式可以从以下几方面认识：

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①

a1(1qn)a1anq不能忽视S 成立的条件：q1。特别是公比用字母表示时，要分

1q1q类讨论。

② 公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如，公差为

d 的等差数列

，

1{an}，

Sna1xa2x2anxn ，则

xSna1x2ax2相减得 Sn(1x)3anxn1anxna1xdx2dxnanxn1，

a1xanxn1dx2(1xn1)dx(1xn1)n1anx，Sn当 x1时，Sn(1x)a1x

1x(1x)21x当x1时 ，

；

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第一节 等差数列的概念、性质及前n项和

题根一 等差数列{an}中，a6a9a12a1520 ，求S

20

：

[思路]等差数列前n项和公式Sn(a1an)nn(n1)na1d221、 由已知直接求a1 ，公差d. 2、 利用性质mn

[请你试试 1——1]

1、 等差数列{an} 满足a1a2A、 a1a101pqamanapaq

a1010 ，则有 （ ）

0 B、 a2a1000 C、 a3a990 D、 a5151

2、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13。

第1变 求和方法——倒序相加法

[变题1] 等差数列{an}共10项，a1a2a3a420 ，anan1an2an360，求S

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n.

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[思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想Sn公式推导方法。

[请你试试 1——2]

1、 等差数列{an}前n项和为18 ，若 S31, anan1an23, 求项数n .

2、 求和 SnC1n2C2nnnCn。

第2变 已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和

[变题2] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m>n)，求Sn+m的值。 [

思

路

]

Sn,Sm,Smn下标存在关系：m+n=m+n, 这与mnpqamanapaq是否有关？

[请你试试 1——3]

1、 在等差数列{aSn}中，615，

S955，求

S15 。

2、在等差数列{an}中，S31，S93，求 S12 。

第3变 已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和

[变题3] 在等差数列{an}中，S1020，S2040，求 S30

[思路] 由S10,S20,S30寻找S10,S20S10,S30S20之间的关系。

[请你试试 1——4]

1、在等差数列{an}中，a1a23，a3a46，求 a7a8

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通项性质

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第二节 等比数列的概念、性质及前n项和

题根二 等比数列{an} ， a54,a76, 求a9。

[思路] 1、由已知条件联立，求，从而得

2、由等比数列性质，知成等比数列。

[ 请你试试2 ——1]

等比数列{an} ， a1

第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列

[变题2] 等比数列{an} ，a1a20,q2，若

，则_______。

a32,a4a5a66，求 a10a11a12。

[思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。

[请你试试2——2]

1、等比数列{an} ， q2、等比数列{an} ， q

第三节 常见数列的通项求法

1 时，S22,S46，求S6。 1 时，S21,S621，求S4。

一、公式法

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例1 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

例3 已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

三、累乘法

例4 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

四、作差法

例5 （数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11，2Sn(n1)an. 求{an}的通项公式

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五，构造法

例6 数列an中，若a12，an1

an，求数列an的通项公式an。 1an中,a11,an12an1,求通项an。例7 数列an

第四节 常见数列求和方法

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22na1(q1)n（2）等比数列的求和公式Sna1(1q)（切记：公比含字母时一定要讨论）

(q1)1q2．公式法：

kk1n2122232n2n(n1)(2n1)

62kk1n3132333n(n1) n323．错位相减法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和. 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

1111111()常见拆项公式： ；

n(n2)2nn2n(n1)nn11111() nn!(n1)!n!

(2n1)(2n1)22n12n1。

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5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求10099989721的和。 7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析： 例1．

2．错位相减法求和 例2．已知

3.裂项相消法求和

，求数列｛an｝的前n项和Sn.

2222222242(2n)2例3.求和Sn 1335(2n1)(2n1)

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4.倒序相加法求和

012n3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n 例4求证：Cn

求值：

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例5．已知数列an,an2[n(1)n],求Sn。

第四节 递推数列的通项公式及前n项和综合

例1．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11，2Sn(n1)an.

（1）求{an}的通项公式； （2）求和Tn =

112a13a21.

(n1)an。

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例2 ．已知数列{an}，a1=1，点P(an,2an1)(nN*)在直线x（1）求数列{an}的通项公式； （2）函数f(n)1y10上. 21111(nN*,且n2)，求函数na1na2na3nanf(n)最小值.

例3 ．设数列an的前n项和为Sn，且Snc1can，其中c是不等于1和0的实常数.

（1）求证: an为等比数列；

（2）设数列an的公比qfc，数列bn满足b1,bnfbn1nN,n2，试写出

131 的通项公式，并求b1b2b2b3bnbn1bn的结果.

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例4．已知数列an的前n项的和为Sn，且anSnSn1n2,Sn0，a1（1）求证：2. 91为等差数列； Sn（2）求数列an的通项公式．

例5．已知数列an是首项为a1数列cn满足cnanbn.

（Ⅰ）求证：数列bn成等差数列； （Ⅱ）求数列cn的前n项和Sn；

1，公比q1的等比数列，设bn23log1an(nN)，444。

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