中学教学参考２０１５年８月 总第２３９期 数学・解法探研 探讨构造函数法证明不等式的若干方法 江苏苏州市田家炳实验高级中学（２１５００７） 陈彩霞 ［摘要］近年来，高中数学的教材新增了导数相关的内容．相应的，数学不等式的证明也有了新途径和新方法．充分利用导数 的相关概念，从而完成不等式的证明，是近年来高中数学教学中的一个重要内容，也是一个难点和热点．利用导数证明不等式的基 本思路是，巧妙利用构造函数的基本形式，通过导数来分析原来函数的单调性，找出其最值，分析其值域，从而证明不等式．因此， 在证明不等式的过程中，合理、有效地构造函数，是证明不等式的核心步骤．介绍了作差构造函数法、换元构造函数法、从条件特征 入手构造函数法的基本思路，并结合实例进行分析． ［关键词］构造函数法 不等式证明 高中数学 ［中图分类号］Ｇ６３３．６ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７４—６０５８（２０１５）２３—００３３ 不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传 令ｇ（ｚ）一ｚ一 而，Ｔ－ 一ｌｎ（１＋ｚ），补充定义ｇ（Ｏ）一０・ 统的证明不等式的方法技巧性较强，多数学生不易想 到，并且各类不等式的证明没有通性通法．新教材引入 则ｇ ）＝＝＝１一 ４ｘ２丽ｑ－４ ｘ－－２ｘ２一 一 ＞ 导数相关的内容，为我们处理不等式的证明问题提供了 ０， 一条新的途径．在近年高考题中，使用导数证明不等式 ‘．．也时有出现，但现行教材对这一问题没有展开研究，使 ｇ（ｚ）在［０，＋ｏｏ）上单调递增， 得学生对这一简便方法并不了解．利用导数证明不等式 当ｘＥ Ｅ０，＋。。）时，ｇ（ｚ）＞０恒成立． Ｚ １一思路清晰、方法简捷、操作性强，易被学生掌握．下面笔 南＞１ｎ（１＋ｚ）・（２） 者介绍作差构造函数法、换元构造函数法、从条件特征 人手构造函数法的基本思路，并通过一些实例进行分析 故由（１）（２）可知，当ｚ∈（ｏ，＋。。）时，不等式ｚ一 ＜ 与总结． 一２ 一、作差构造函数法 ｉｎ（１ｑ－ｘ）＜ｘ一南成立・ 作差法是比较法中常用的方法，其原理来自不等式 一般而言，通过导数证明不等式时，需要分析构造 的基本性质：如果ａ＞ｂ，则ａ－－ｂ＞Ｏ；￣ｌ果ａ＝ｂ，则ａ－－ｂ＝Ｏ； 的函数，尤其是在区间端点处，需要注意函数是否满足 如果ａ＜ｂ，则ａ－－ｂ＜Ｏ．作差法的主要步骤包括：作差、变 连续的条件．通常情况下，构造的函数在区间端点处需 形、判断（差值与０的大小关系）．在利用作差法构造函 要补充其定义．另外，可以考虑使用这一结论：如果某一 数的过程中，变形是难点，它常用的方法有：通分、配方、 函数＿厂（ｚ）在区间［６，＋ｏｏ）上满足连续，在区间（６，＋Ｃｘ３） 因式分解等．这一步的直接目的是让我们可以很容易甚 上满足可导，且厂（ｚ）＞ｏ；又厂（６）≥ｏ，那么当ｘ＞ｂ时， 至直观地判断这个差值与０的大小关系． 有厂（ｚ）＞Ｏ． ～２ 【例１】 求证不等式 一 ＜ｉｎ（１＋ｚ）＜ｚ一 二、换元构造函数法 换元法是指将某一复杂的式子当成一个整体来对 一２ ≠ 在ｘＥ（０，＋∞）等成立・ 待，定义一个新的变量，替换该复杂的式子，实现换元， 达到使问题简化的目的．作为数学中常用的一类基本方 ～２ 证明：令ｆ（Ｘ）一ｉｎ（１＋ ）一（ 一山一），补充定义 法，换元法通过变换元，达到了变换研究对象的目的．这 －厂（０）一０． 样，可以将目标问题迁移到更新了元之后的那个知识系 １ —２ 统中去解决，进而做到了将某些非标准的特殊问题转变 则 （ ）一南一ｌ＋ｘ一南＞０， 为标准问题，将复杂问题转变为简单问题．在数学不等 ’．． 一－厂（ｚ）在［０，＋ｃ×３）上单调递增， 式证明问题的解题过程中，可以根据问题的所具备的结 当ｘＥ Ｅ０，＋０ｏ）时，厂（ｚ）＞Ｏ恒成立， 构特性，变化不等式中的某些复杂式子，简化不等式的 ・结构，使之易于证明． ．．１ｎ（１ｑ－ ）＞ｚ一 ．（１） ［基金项目］本文受到苏州市教育科学规划课题“新课程下有效转变数学教学方式的研究成果”资助． ３３ 数学・解法探研 中学教学参考２０１５年８月 总第２３９期 【例２】证明：对任意的正整数 ，不等式１ｎ（ ＋ 则Ｆ，（ｚ）一Ｌｚ厂（ ）＋厂（－ｚ）＞ｏ，从而Ｆ（ｚ）在Ｒ上为 增函数． ‘．‘１）＞ 一嘉都成立・ 分析：从所证结构出发，只需令÷一ｚ，则问题可转 一ｎ＞ｂ， 。．．Ｆ（ｎ）＞Ｆ（６），且口口厂（口）＞６厂（６）． ．由条件移项后得ｘｆ＇（ｚ）＋厂（ ｚ）＞Ｏ，容易想到这是 个积的导数，从而可以构造函数Ｆ（ｚ）一ｘｆ（ｘ），求导 化为：当ｘ＞Ｏ时，恒有ｌｎ（ｘ＋１）＞ 一 成立．现构造 函数 （ｚ）一ｚ。一ｚ。＋ｌｎ（ｘ＋１），对＾（ｚ）求导即可证明． 证明：令 一ｚ， （ｚ）一 一ｚ ＋ｌｎ（ｘ＋１）， 即可完成证明．若题目中的条件改为 ／（ｚ）＞厂（ｚ），则 移项后得 厂（ｚ）一厂（ ）＞０，要想到这是一个商的导 数，学生在平时解题时应多注意总结． （ｘ）＝３ｘｚ－２ ＋ 一鲨鲁 ， 作为高中教学的重点和难点，不等式证明问题难度 高，技巧性强，其相关内容一直得到了高中数学教学和 当ｘ＞Ｏ时，ｈ （ ）＞Ｏ恒成立， 研究人员的很多关注．新教材体系新增了导数部分的内 。．．函数 （ｚ）在（０，＋。。）上单调递增， 容，为证明不等式增加了新的思路，开辟了一条新路径． 。．．当 ∈（０，＋Ｃｘ３）时，恒有 （ｚ）＞ （Ｏ）一０， 将导数相关的内容运用到不等式的证明中，可以使证明 即 。一ｚ。＋ｌｎ（ｘ＋１）＞０， 过程简单明了，思路清晰，方法易于操作，是值得展开充 ‘．．１ｎ（ｘ＋１）＞ －－Ｘ。． 分研究的一项内容． 故对任意正整数 ，取ｚ一÷∈（０，＋Ｃｘ３），则有 ［参考文献］ ｌｎ（ ＋１）＞ 一去． ［１］陈唐明．构造函数证明不等式方法探析——对《用构造函 数来证明不等式》一文的研究性学习ＥＦ］．中学数学研究， 我们知道，当Ｆ（ｚ）在［。，６］上单调递增，且ｘ＞ａ时， ２００９（１１）：３０—３２． 有Ｆ（ ）＞Ｆ（ｎ）．如果厂（口）一 （ｎ），要证明当ｘ＞ａ时， ［２］朱护国．构造函数法证明不等式［Ｊ］．试题与研究：新课程 厂（ｚ）＞ （ｚ），那么，只要令Ｆ（ｚ）一＿厂（ｚ）－－ｐ（ｘ），则可利 论坛，２０１４（７）． 用函数Ｆ（ ）所具备的单调性来进行推导证明．换而言 ［３］王云．浅谈运用构造函数法证明不等式［Ｊ］．语数外学习： 之，在Ｆ（ ）满足可导的前提条件下，只需要证明 （ｚ）＞０ 数学教育，２０１２（７）：５７—５７． 就可以完成不等式的证明． ［４］苗建成．用构造函数法证明不等式［Ｊ］．中学生数学，２００９ 三、从条件特征入手构造函数法 （１３）． 构造函数是一种重要的数学方法，在教学中得到了 ［５］曾思江．分而治之 各个击破——不等式证明的局部处 广泛的应用．利用条件或结论中的特征和性质，构造出 理法ＥＪ］．数学教学，１９９ｔ（５）． 符合条件或结论的模型，然后通过模型解决数学问题． Ｅ６］左振钊，张艳红，袁博．相关系数的性质的几种证明方法 从条件特征人手构造函数是构造函数法的一种常用方 ｆ－ｊ］．河北北方学院学报（自然科学版），２００５（５）． 法，能化繁为简，化抽象为直观． ＥＴ］王建平，张香伟，李艳华．构造辅助函数法在高等数学中 【例３】若函数 一厂（ｚ）在Ｒ上可导，且满足不等 的应用［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２００４（１）． 式ｘｆ＇（ ）＞一 （ｚ）恒成立，且常数ａ，６满足ａ＞６．求 ［８］周顺钿．模式・放缩・探索——ＩＢ模块《不等式选讲》的 教学策略［Ｊ］．教学月刊（中学版），２０１０（５）． 证：ａｆ（ａ）￣ｂｆ（ｂ）． （责任编辑钟伟芳） 证明：由已知得ｘｆ＇（ｚ）＋厂（ｚ）＞Ｏ， ‘．．构造函数Ｆ（ ）一ｚ－厂（ ），
