基本不等式的常见解题策略

基本不等式的常见解题策略■广东省广州市第二中学

邓军民

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式.其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，数学表达式为：a+b２≥姨ab（当且仅当时取等

号）.基本不等式是高中数学中一个重要的不等式，它形式简单、灵活多变，在证明、求最值等方面有着广泛的应用.运用基本不等式首先要满足“一正、二定、三相等”，其次要灵活构造和或者积为定值的项.基本不等式常见的解题策略有如下几个.

策略一、配凑常数或系数

【例1】（1）函数ｆ（ｘ）=9x-5+x(x<5)的最大值是______.

（2）(2019·泉州检测)已知0值时x的值为(

)A．１

3B．１

3

２C.4D.2

3解析：（1）因为x<5，所以5-x>0，所以ｆ（ｘ）=-[95-x+(5-x)]+5≤-2姨9+5=-1.

当且仅当95-x=5-x，即x=2时等号成立，所以ｆ（ｘ）的最

大值是-1.

（2）因为0当且仅当x=1－x，即x＝１２时等号成立.

点评：恰当地拆项、添项、拼凑系数可以实现构造和或者积为定值，但拆与添的过程中，一要注意使用的条件（两数都为正）；二要注意等号成立的条件.

【练习1】

（1）若函数ｆ（ｘ）=x+1x-2(x>2)在x＝a处取最

小值，则a等于(

)

A．1＋姨2B．1＋姨3C．3D．4（2）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式为

S=

≥3ｘ+18x-8＋5，014.x≥6

已知每日的利润L=S-C，当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.

解析：(1)因为x>2，所以x－2>0，所以ｆ（ｘ）＝x＋1x-2＝(x－2)

＋1x-2＋2≥2·姨(x－2)·1x-2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x-2，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3.又因为x>2，所以x＝3，即a等于3时，函数ｆ（ｘ）在x＝3处取得最小值，故选C.

（2）当0所以L=2x+362x-16+2=-[(16-2x)+3616-2x]+18≤-2姨

36+

18=6，

当且仅当16-2x=

3616-2x，即x=5时取到等号.当x≥6时，L=11-x≤5.所以当x=5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.

策略二、常数代换

【例2】若直线xa+yb=1(a>0，b>0)过点（1,2），则2a+b

的最小值为_______.

解析：由已知可得1a+2b=1，

故2a+b=（2a+b）（1a+2b）=4+ba+4ab≥4+2姨4=8，

当且仅当ba=4ab即a=2，b=4时等号成立.

点评：如果由题给条件可得到形如m+nab=1（m，n为常

数）的方程，求ax+by（a，b，c，d都不为0）的最值时可利用“1”的代换，通过ax+by=（ax+by）（ma+nb）展开后构造乘

积为定值.注意本题中的条件也常以2a+b-ab=0形式给出.

【练习2】（1）若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1,－2)，则1+2mn的最小值为()A．2

B．6

C．12

D．3＋2姨2广东教育·高中2019年第12期29

应考方略数学有数

22（2）

(2019·大庆质检)若兹∈（0,仔２），则y＝１sin２兹＋

9cos２兹的取值范围为(

)

A．[6，＋∞)

B．[10，＋∞)

C．[12，＋∞)

D．[16，＋∞)

解析：（1）因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以1m+2n＝(1m+2n)(m＋n)＝3＋

nm+2mn≥3＋2姨2，当且仅当“n+2mmn，即n＝姨

2m”时

取等号，所以1m+2n的最小值为3＋2姨2.故选D.

（2）因为兹∈（0,仔），所以sin２２兹，cos２兹∈（0,1），所以

y＝

１＋9＝(１＋9２

sin２兹cos２兹sin２兹cos２兹)(sin２兹+cos２兹)＝10＋cos兹sin２兹＋9sin２

兹cos２兹9sin２兹２

２

cos２兹≥10＋2姨sin２兹·cos２兹＝16，当且仅当cos兹sin２兹=9sin兹cos２兹，即兹＝仔6时等号成立，所以y＝１sin２兹＋9cos２兹的取值范围为

[16，＋∞).故选D.

策略三、分离和与积【例3】

（1）若正实数x，y满足2x+y-xy+6=0，则xy的

最小值为_______.

（2）若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为______．

解析：

（1）xy=2x+y+6≥2姨2xy+6，令xy=t2(t>0)，可得

t2-2姨2t-6≥0，解得t≥3姨2，当且仅当2x=y，即x=3，y=6时等号成立，故xy的最小值为18.

（2）∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(a+b２)2.

令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.

∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a=b＝3时取等号．所以a＋b的最小值为6.

点评：当变量的和与积在同一方程出现时，可采用分离和积的策略运用基本不等式得到不等式，再通过解不等式求得最值.

【练习3】

（1）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的

最小值为________．

（2）已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．

解析：（1）∵x>0，y>0，9－(x＋3y)＝xy＝１x·(3y)≤１３３·(x＋3y2)2，当且仅当x=3y时等号成立．设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t>0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.

（2）∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤x2＋4y2

2，∴6－(x2＋4y2)≤

30广东教育·高中2019年第12期

x＋4y2，∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，

即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)．

综上可知4≤x2＋4y2≤12.策略四、消元法

【例4】若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(

)A．2姨23B．姨23C.姨33D.2姨33解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝１-x2

6x.由

0ｘ＞0，

ｘ＞0，y＞0，即0１-x2

6x＞0，

解得0＝2x＋１2x3x33x≥2

姨3·１3x＝

2姨23，当且仅当2x3＝１3x，即x＝姨22，y＝姨212时取等号.故x＋

2y的最小值为2姨23.点评：消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意保留元的范围.

【练习4】若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋１＋

1b＋c的最小值是（）A．2B．3

C．4

D．6

解析

由题意可得b＋c＝2－a>0，所以04＋1a＋１b＋c＝4＋1＝4（2－a）+（a＋１）＝9-3a2+a+2＝3（3－a）a＋１2－a（2－a）（a＋１）-a-（a－3）2-5（a-3）-4＝3a-3+4，因为3＝3≥a-3+5a-3+43×

a-3+5-[（3－a）+43－a]+51-2×姨4＋5

＝3，当且仅当a＝1时等号成立，所以4a＋１＋1

b＋c的最小值是3.

策略五、连续放缩【例5】已知a>b>0，那么a2＋

1b（a-b）

的最小值为________.解析：因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤（b+a-b2）2＝

a24，所以a2＋1b（a-b）≥a2＋4a2≥2姨a2·4a2＝4，当且仅当b＝a－b

且a2＝42a2，即a＝姨2且b＝姨2时取等号，所以a2＋1

b（a-b）的最小值为4.

点评：利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.

【练习5】设a>b>0，则a2＋1ab＋1a（a-b）的最小值是（

）

A．1B．2

C．3

D．4

解析a2＋1ab＋1a（a-b）＝(a2－ab)＋1（a2

-ab）＋1ab＋ab≥2

姨（a2-ab）·1（a2-ab）＋2姨1ab×ab＝4（当且仅当a2-ab＝1a2-ab且1ab＝ab，即a＝姨

2，b＝姨22时取等号）.故选D.

策略六、逆用变用

【例6】若x>0，y>0，且2x2

+y2

3＝8，求x姨6+2y2的最大值.

解析：由2x2+y2

＝8得到6x2+y23＝24，

所以x姨6+2y2＝姨12x2·姨6+2y2·1≤12x2

+6+2y2

姨122·姨3＝２７×姨3＝９６６姨3２.

另解：

2

（x姨6+2y2）2＝x2（6+2y2）＝３·２x2（１+y2

２x+1+y2

3）≤３·（

3２）2＝３×（９２）2

.

当且仅当２x2＝１+y2

3，即x＝３２，y＝姨422时，等号成立，

故x姨6+2y2的最大值为9姨３2.

点评：要做到灵活应用，除了掌握不等式的原形之外，还必须熟悉以下两种常见的变化形式：a＋b≥2姨ab，ab≤

（a＋b）2

，a＋bb222≤姨a2＋2，它们也有较多的应用.（以上各式

中a，b都是正数，当且仅当a＝b时取“＝”号.）

【练习6】设a，b∈R+，且a＋b＝1，则姨2a+1+姨2b+1的最大值是_______.

解析姨2a+1+姨2b+1（1）2+（）22≤

姨姨2a+2姨2b+1＝

姨2（a＋b）+２２＝姨

2，当且仅当a＝b＝１２时等号成立，所以最

大值为2姨2.

GUANＧＤONGJIAOYUGAOZHONG

策略七、平衡系数法

【例7】已知x，y＞0，x+y+１+１=１9，求３-７x２y4x１６y的最小值．

解析∵姿（３-７１６y）＝x+y+１x+１２y-１94+姿（３x-７x１６y）

１1+３姿-７姿

＝（x+x）+（y+２１６yy）-１94≥2姨1+３姿+

2

姨１-７１６姿-１9２4.

姨

))ｘ＝当且仅当

)姨1+３姿，

())１)ｙ＝

-７姿，即姿＝1时取等号．

*

姨２１６∴３x-７１６y≥4+１２-１94＝-１4，∴３x-７１６y的最小值为-１4．点评：本题抓住已知条件的式子与所求式子结构上的联系，设定一个系数姿，利用均值不等式的取等条件来平衡系数，进而确定姿＝1，一般来说，命题者也不会把系数姿设置得很复杂，所以利用取等条件解方程组的运算量也不会很大.

【练习7】在△ABC中，c＝2姨2，b２-a２＝16，则∠C的最大值为

.

解析c＝2姨2，b２-a２＝16，

∴cosC＝a２+b２-c２＝2a２+８２

a２+４2a姨a２+１６＝a+４2aba姨a２+１６＝

（姿a）姨a２2+１６姿姿2

≥2（a２+４）2（a２+４）（姿a）２+（a２１６＝１.2２１６姿2+姿2）（姿+姿2）a+

姿2令１６x2＝４（姿2+１姿2）圯姿2＝姨３.cosC≥

２

＝姨３.∴C姿max=仔.当且仅当a＝22+１２6姨2，b＝

姿22姨６等号成立.

基本不等式的运用灵活多变，但也不是无章可循.其核心规律是：1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等．3．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”

“凑”等技巧，

使其满足基本不等式中“正”

“定”

“等”的条件．4．注意基

本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．5．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.我们只要仔细研究题目条件的结构特征，恰当运用以上策略进行转化，找到所求式子与基本不等式之间的思维通道，最值问题便可迎刃而解.

责任编辑

徐国坚

广东教育·高中2019年第12期31