２０１ １年第６期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ・ ＮＯ．６ ２０１１ 龚袭李先进（云南省富源县第一中学） 所以厂（ ）： ± 在［２，＋＊）上是单调递减函数，于是 ＞ 成立， 摘要：在解决一些不等式问题时，若直接去证明（或解 答），问题的解决过程可能会很复杂．若能从所给题目条件中的 不等关系出发，去探索，去寻找条件与证明的结论之间存在的 规律。 “恰＂３”构造出一个沟通条件与结论不等关系的新函数，－ 利用函数的单调性和最值，便可使不等式问题的解决过程得到 由ｌ＜ｍ＜ｒｔ可得，（ｍ）＞，（凡），即 从而原不等式得证． 【点评】这是一道２００１年的高考试题中的一问，其试题参 考出的解题过程比较繁，上述问题中我们根据问题的 “载体”．如何有效合理地构造出函数是使不等式问题获得证明 结构特征，找出关系式中的规律，构造出一个新函数ｆ（ ）＝ 简化。使问题解决简捷化．因此构造函数成为证明不等式的良好 （或解）的关键． 关键词：不等式；构造函数；单调性 在证明一些不等式的问题中，如果直接去证明，去解不等 式。问题解决的过程可能会很复杂，我们若能根据所要证明的 不等关系，寻找关系式中的有关规律，恰当构造出一个新的函 盟，利用其单调性，使问题证明更加简捷． ＋ 例２设ｏ，ｂ，ｃ为三角形的三边长，求证： 丽ｂ＞击． 分析：观察要证式子的结构：丁 ，丁 ，丁ｃ＿，从 中抽象出一个结构规律“ ｌ十 数，利用函数的单调性和最值（使用导数方法），便可以很简捷 地使不等式问题的解决过程得到简化，并予以证明．请看下面的 例子： 例１ 已知ｍ，ｎ∈Ｎ ，且１＜ｍ＜ｎ，求证：（１＋ｍ） ＞（１＋ ）ｍ． ”（把变量ｏ，ｂ，ｃ的位置换 ＪＩ 成“ ”），于是可以考虑构造新函数 分析：要证式子（１＋ｍ） ＞（１＋ ） 成立，由于ｍ，ｎ∈Ｎ ， ，（ ）＝击（ ＞ｏ）－ 接下来继续进行探究：如图２，考 查函数，（ ） 丁 上的单调性． —————／／ 且１＜ｍ＜ｎ，可知上式中两边均为正数，试想若对不等式两边 取自然对数后，变形一下，看是否有什么规律和特征？ 要证原不等式成立，等价于证明Ｉｎ（１＋ｍ ｎ＞Ｉｎ（１＋ｎ） 成 立，等价于证明ｎｌｎ（１＋ｍ）＞ｍｌｎ（１－Ｉ－ｎ）成立，等价于证明： ——————■ 在区间（０，＋∞） Ｃ『／ ， 图２ －！！± ．＞ （１＜ｍ＜ｎ）成立・ 容易证明，（ ） Ｔ 在区间（０， 。。）上是单调递增函数・ （把变量ｍ ｒ 由于ａ＋ｂ＞ｃ（三角形两边之和大于第三边）， ． 要证明的上式结构中，两边都有： 的位置换成“ ”），于是我们可以联 ‘从而有ｆ（ａ＋ｂ）＞－厂（ｃ）， 即 １ ’＋ ＋ ａ ｂ＋ １ ＋ ＋ ａ ｂ＝ １ ＋（ ａ ４ ｂ）’＞— １ ＋ｃ， ’ 想到构造新函数：，（ ）＝ ， 如图１，若－厂（ ）在［２，＋ ）上是单调递 减函数，问题便可得到解决． ｛＼ 、———因为ｎ＞０， ＞０，音 ＝ ———＋ ， —～ Ｄ 证明：对函数／（ ）： ± ， 图１ 击＜击，丽ｂ＜击， 从而便有Ｔｃｌ＋＿ Ｃ＜－１ ａ＋ ＋ 一 ｂ＋ １ ａ＋ ＋ ｂ＜— １等＋Ｔ ｂ・＋Ⅱ Ｉ＋ ， 这样，问题便得到了解决． 求导得， （ ）＝ Ｌ 广—一证明：构造新函数，（ ） 丁 ， ∈（ｏ，＋∞），易证函数 而在 ∈［２，＋∞）上，ｏ＜＿１ ＜１．Ｉｎ（１＋ ）≥ｌｎ３＞ｌｎｅ＝１， －厂（ ）在（０，＋。。）上是单调递增函数． 由于ａ，ｂ，ｃ为三角形的三边，于是有０＜ｃ＜ａ＋ｂ， 所以厂（ｃ）＜ｆ（ａ＋ｂ）， 所以 ｉ十 一Ｉｎ（１＋ ）＜０恒成立，从而在 Ｅ［２，＋∞）上， ／ （ ）＜０恒成立， 收稿日期：２０１１－０２—２０ 作者简介：龚袭（１９６４一），男，云南富源人，中学高级教师，数学特级教师，主要从事中学数学新课程改革研究和中学数学课堂教学研究 ４２ 即 ＜ ＝ ＋ ＜贵＋ 观察一下：指数中 ：与 互为相反数，２一 与一（２一 ）互为相 反数． （因为口＞０，ｂ＞０） 解：可把指数式中的 ｚ及２一 换成新变量ｔ，构造一个新 ｌ＋Ｏ 函数：ｆ（ｔ）＝２ 一３ Ｅ Ｒ），易知ｆ（ｔ）＝２ｌ一３ ∈Ｒ）在 ∈ 从而有击＜击＋击・ （一ａ。，＋ｏ。）上是单调递增函数，于是解不等式 一３ ＞２ｚ一一 【点评】这是课本《全日制普通高级中学教科书（必修）・数 ３－（２一 问题可转化为：ｆ（Ｘｚ）＞厂（２一 ），根据函数Ｘ２＞２一 的单 学第二册（上）》中的一道习题，参考解答给出的是采用分析法 调性可得，从而有 ＜－２或 ＞１． 去证明：去分母、化简，过程较繁．在评讲此道问题时，作者给 所以原不等式的解集为｛ ＜一２或 ＞１｝． 出两种证法，一种方法是教学参考书上的证法，另一种方法是 【点评】拿到该题后，用传统的方法去解，无法处理（可以 尝试一下），但如果变一下形式后，便可找到其规律性．这种构 构造新函数．厂（ ）＝÷Ｉ十 ， ∈（０，＋ ）方法去进行证明． 造一个新函数解不等式的方法过程太妙了！ 例３已知口，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ，求证：（ｎｃ＋６ｄ） ≤（ ＋６ ）・ 总之，上面例证中，根据不等式本身的结构规律，构造出 一（ｃ ＋ ）． 个适当的新函数，再利用函数单调性和最值，可证明的一类 分析：要证上式成立，通过观察，上式与二次函数ｆ（ ）＝ 不等式问题还比较多．通过以上的例子，抛砖引玉，在今后的学 （ ＋６ ） ＋２（ａｃ＋ｂｄ）ｘ＋（Ｃ ＋ ）中对应二次方程的根的判别式 习、研究和教学过程中，只要勤于思考，善于总结，一定能够 “△≤０”的形式结构相同： 找到一些较好、较巧的方法去解决问题． ［２（ ＋ｂｄ）］ 一４（ ＋ｂ ）・（ｃ ＋ ）≤０，（￥） 训练题： ‘于是可构造二次函数： （１）（２００５年全国卷ＩＩ第６题） 若。＝ ， ＝孚，ｃ＝ ｆ（Ｘ）＝（ ＋６ ） ＋２（ａｔ＋ｂｄ）ｘ＋（ｃ ＋ ）， 丁ｌｎ５，则有（）． 即ｆ（ｘ）＝（ｏｘ＋ｃ） ＋（６ ＋ｄ） ． 而厂（ ）≥０对一切 ∈Ｒ均成立，即二次曲线都在 轴上 （Ａ）０＜６＜ｃ （Ｂ）ｃ＜ｂ＜口 方，从而曲线厂（ ）＝（蕊＋ｃ）ｚ＋（ｂｘ＋ｄ） 与 轴最多有一个交 （Ｃ）ｃ＜口＜６ （Ｄ）ｂ＜口＜ｃ 点，其对应二次方程（ ＋ｃ） ＋（ｂｘ＋ｄ） ＝０至多有一根，进一 提示：可构造函数ｆ（ｘ）＝堕生，，（ ）在区间（ｅ，＋∞）上是单 步可知：△≤０． ’ 所以（ ）式成立，从而原不等式得证． 调递减函数，由ｅ＜３＜４＜５，有，（３）＜，（４）＜厂（５），即 ＞ 证明：构造一个关于 的二次函数：ｆ（ ）＝（ａ２＋６ｚ） ：＋ ＞２（ａｔ＋ｂｄ）ｘ＋（Ｃ。＋ｄ２），口、ｂ、Ｃ、ｄ∈Ｒ，且 ＋ｂ２≠０， 孚，得证．（注意 ＝ ．） 即ｆ（ｘ）＝（ｃ ＋ｃ） ＋（ｂｘ＋ｄ） ． （２）（《全日制普通高级中学教科书（必修）・数学第二册 而ｆ（ ）≥０对一切 ∈Ｒ均成立，即二次曲线都在 轴上 （上）》第１２页例２）设ｏ、ｂ、ｍ∈Ｒ ，并且口＜ｂ，求证： 方，从而曲线ｆ（ ）＝（ ＋ｃ）ｚ＋（ｂｘ＋ｄ）ｚ与 轴最多有一个交 ＞ ． ｂ＋ｍ ｂ 点，其对应二次方程（ ＋Ｃ）：＋（ｂｘ＋ｄ）：＝０至多有一根，进一 提示：构造函数ｆ（ｘ）＝ 旦，（ ∈Ｒ＋），（０＜口＜ｂ）． 步可知：△≤０． 所以［２（ｎｃ＋ｂＪ）］ 一４（ ＋６ｚ）・（Ｃ：＋ｄ２）≤０成立， （３）求证：ｓｉｎ ＋ ≥５． 即（ｎｃ＋６ｄ） ≤（ ＋６。）・（ｃ ＋ｄ２）． 提示：作变量代换，令ｔ＝ｓｉｎ ，则ｔ Ｅ（０，１］，构造函数 从而原不等式得证． 【点评】若把问题中的字母ｏ，ｂ，Ｃ，ｄ的条件如下： ＋ ，（ｚ）＝ ＋ ，利用函数厂（￡）在（ｏ，１］上是单调递减函数便可证 ｂ ＝１，ｃ。＋ ＝１，则有： （０ｃ＋ｂｄ） ≤１，即一１≤０ｃ＋６ｄ≤１． 得结论． 这样便得到课本（（全日制普通高级中学教科书（必修）・数学第 （４）设口＞６＞０，求证 ＞ 二册（上）》的２９页例１的结论了． 提示：要证 ＞ 。成立，等价于证明：－ｄ －＞ ｂｏ，即证 更一般地：对于例３的“构造性”证明方法可推广至证明 Ｃａｕｃｈｙ（柯西）不等式的一般情形． “＞ｂ ，于是可构造函数ｆ（ｘ）＝ ～，便可证明． Ｃａｕｃｈｙ不等式定理： （５）已知口，ｂ∈Ｒ，求证： ≤ ＋ 设 ，ｂ ∈Ｒ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ）， 贝０恒有（８１ｂ２＋０２６２＋…＋ｑ ） ≤（Ⅱ ＋ ＋…＋ ）・（ｂ｛＋ 提示：构造函数，（ ）＝壬１十 ＞０），利用Ｉｏ＋ｂ Ｉ≤ ｂ；＋…＋ｂ ）成立，等号在当且仅当旱Ｌ＝｛ ＝…＝｛ 时成立．口ｌ＋Ｉ６ Ｉ，证法同例２． ０１ Ｄ２ ０ 参考文献： （提示：．可构造函数ｆ（ ）＝（口 ＋ｂ１） ＋（ ＋６２）。＋…＋ ［１］孙运景．导数证明不等式的“前奏曲”——构造函数 （珥 ＋６ ） ，利用ｆ（ｘ）≥０对一切恒成立，有△≤０，便可证明．） ［Ｊ］．中学数学杂志，２ｏｏ９（７）：３８—３９． 例４解不等式： 一２ 一＞３－ｅ一３，－２． ［２］东洪平．利用函数的单调性证明具有条件０ ４－ｂ：ｌ的一 分析：对原不等式两边进行移项： 一３－ｅ＞２２～一３－（ ～， 些不等式ＥＪ］．中学数学杂志，２ＯＬＯ（３）：４４＿４６．
