新田县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． P是双曲线

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2

C．c

的内切圆圆心的横坐标为（ ）

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ A．a

B．b

2． 设a,b,cR，且ab，则（ ） A．acbc B．3． 若f(x)D．a+b﹣c

11

 C．a2b2 D．a3b3 ab

f(x2),(x2)则f(1)的值为（ ） x(x2)2,11 A．8 B． C．2 D．

284． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

5． 已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则A∩B=B成立的实数a的取值范围是（ ） A．{a|3≤a≤4} B．{a|3＜a≤4} C．{a|3＜a＜4} D．∅ 6． 已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（ ）

A．2017 B．﹣8 C．

D．

，则异面直线A1C

7． 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=与B1C1所成的角为（ ）

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A．30° B．45° C．60° D．90°

8． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ） A．3

B．

C．2

D．6

9． 四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

sin（3x+

）的图象（ ）

10．为了得到函数y=A．向右平移

sin3x的图象，可以将函数y=

个单位

个单位 B．向右平移

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

11．函数y=ax+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（ ） A．（0，1）

B．（0，3）

C．（1，0）

D．（3，0）

1x2,x1,31x的零点个数为（ ） 12．若函数f(x)则函数yf(x)32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．

14．（文科）与直线x3y10垂直的直线的倾斜角为___________． 15．抛物线

的准线与双曲线

的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

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16．已知点E、F分别在正方体

的棱上，且, ,则

面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

17．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．

CAB

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 18．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5= ．

三、解答题

19．某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

节能意识弱 节能意识强 总计 45 9 54 20至50岁 大于50岁 总计 10 55 36 45 46 100 （1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？

（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．

20．（本小题满分10分） 已知函数fxxax2．

（1）若a4求不等式fx6的解集；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

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21．设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （1）求集合D（用区间表示）

32

（2）求函数f（x）=2x﹣3（1+a）x+6ax在D内的极值点．

22．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0 （1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围． （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

23．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．

24．已知函数f（x）=（Ⅰ） 求A，B；

（Ⅱ） 若A∪B=B，求实数a的取值范围．

22

的定义域为A，集合B是不等式x﹣（2a+1）x+a+a＞0的解集．

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25．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，函数．

（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域； （2）已知函数g（x）=

和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，

]上是减函数，在[

，+∞）上是增

使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．

26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：AF⊥EF．

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新田县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q， 则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同． 由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a． ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，

∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a． 故选A．

由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．

2． 【答案】D 【

解

析】

考

点：不等式的恒等变换. 3． 【答案】B 【解析】

试题分析：f1f32考点：分段函数。 4． 【答案】B

31，故选B。 8第 6 页，共 15 页

5． 【答案】A

【解析】解：∵A={x|a﹣1≤x≤a+2} B={x|3＜x＜5} ∵A∩B=B ∴A⊇B ∴

解得：3≤a≤4 故选A

【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．

6． 【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即f（x+4）=f（x）， 即函数的周期是4．

∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）=， ∴a2017=f（1）=， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．

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7． 【答案】C

【解析】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C与B1C1所成的角．

直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=CA1=故选：C．

，

，BA1=

，

三角形BCA1是正三角形，异面直线所成角为60°．

8． 【答案】C

【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=， ∴c=2，a=3， ∴b= ∴2b=2

．

故选：C．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．

9． 【答案】B

则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

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10．【答案】A

【解析】解：由于函数y=即可得到y=故选：A．

sin[3（x+

sin（3x+﹣

）]=

）=sin[3（x+）]的图象向右平移

个单位，

sin3x的图象，

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题． 11．【答案】B 过点（0，3）， 故选B．

x x

【解析】解：由于函数y=a（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a+2（a＞0且a≠1）图象一定

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

12．【答案】D 【

解

析】

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考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

二、填空题

13．【答案】 [0，2] ．

【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；

2

命题q：x﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．

∵q是p的充分不必要条件， ∴q⊊p， ∴

解得0≤a≤2， 故答案为：[0，2]．

，

则实数a的取值范围是[0，2]．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

14．【答案】【解析】

试题分析：依题意可知所求直线的斜率为3，故倾斜角为考点：直线方程与倾斜角．

15．【答案】

【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线

的准线方程为：x=2;

 3. 3第 10 页，共 15 页

双曲线所以故答案为：16．【答案】

的两条渐近线方程为：

【解析】延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

，所以为

17．【答案】8

18．【答案】 ﹣1054 ．

2

【解析】解：∵2an，an+1是方程x﹣3x+bn=0的两根， ∴2an+an+1=3，2anan+1=bn， 则b5=2×17×（﹣31）=1054． 故答案为：﹣1054．

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关

（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为∴年龄大于50岁的约有

（人）

（人），

与

（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的

年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4．

从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）， 设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”， 则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4） 故所求概率为

20．【答案】（1）,0【解析】

6,；（2）1,0.

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,0试题解析：

（1）当a4时，fx6，即恒成立，即1a0.

6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

x22x4x44x2x64xx26解得x0或x6，不等式的解集为,06,；

或或x4x26，

考

点：不等式选讲．

21．【答案】

222

【解析】解：（1）令g（x）=2x﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）﹣48a=9a﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）． ①当

时，△≥0，

，

方程g（x）=0的两个根分别为所以g（x）＞0的解集为

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因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当综上所述，当当

时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）

时，D=

；

时，D=（0，+∞）．

2

（2）f′（x）=6x﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）， 令f′（x）=0，得x=a或x=1， ①当

时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）

2

因为g（a）=2a﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0

所以0＜a＜x1＜1≤x2，

所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： x a （0，a） （a，x1） （x2，+∞） + 0 + f′（x） ﹣ f（x） ↗ 极大值 ↘ ↗ 所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点． ②当

时，由（1）知D=（0，+∞）

1 0 极小值 （1，+∞） + ↗ 所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x a （0，a） （a，1） f′（x） f（x） + ↗ 0 极大值 ﹣ ↘ 所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1 综上所述，当当

时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；

时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．

22．【答案】 【解析】解：p：∴（1）若a=，则q：∵p∧q为真，∴p，q都为真；

；

，q：a≤x≤a+1；

；

∴，∴

∴实数x的取值范围为；

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（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p； ∴

，∴

；

．

∴实数a的取值范围为

【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．

23．【答案】 【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n）， 则线段A′A的中点B（

，

），

﹣

﹣1=0 ①．

由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故 2×

再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得 解①②做成的方程组可得： m=﹣

，n=，

，）．

×=﹣1 ②，

故点A′的坐标为（﹣

【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵

，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=

的

定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；

22

由不等式x﹣（2a+1）x+a+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x＜a， 22

∴不等式x﹣（2a+1）x+a+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；

（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B． ∴

，解得﹣1≤a≤1．

∴实数a的取值范围[﹣1，1]．

25．【答案】

【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增， f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5 所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]． （2）y=g（x）=

=2x+1+

﹣8

；

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设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=由已知性质得，

﹣8，

当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]； 当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]； 由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣

，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．

因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]． 根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集， 从而有

26．【答案】

【解析】（1）证明：如图， ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC．

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD． ∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD． 又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC． ∵EF⊂平面PDC， ∴AF⊥EF．

，所以a=．

【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

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