苏尼特右旗第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设x，y∈R，且满足A．1

B．2

C．3

，则x+y=（ ）

D．4

2． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

3． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体EFMC的体

V1（ ）1111] V2111A． B． C． D．不是定值，随点M的变化而变化

324积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则

4． 已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）

A． B．或36+

C．36﹣

D．或36﹣

5． 设Sn是等比数列{an}的前项和，S45S2，则此数列的公比q（ ）

A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1

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6． 已知双曲线﹣

=1的一个焦点与抛物线y2=4

x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则

该双曲线的方程为（ ） A．

7． 已知i为虚数单位，则复数

所对应的点在（ ）

﹣

=1

B．

22﹣y=1 C．x﹣

=1 D．﹣=1

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8． 由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A B1 CD

9． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B．18 C． D．

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A．64 B．72 C．80 D．112

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【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 11．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ） A．8πcm2

B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

12．函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（ ） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题

13．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”） 14． 17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．

15．在ABC中，有等式：①asinAbsinB；②asinBbsinA；③acosBbcosA；④

abc.其中恒成立的等式序号为_________. sinAsinBsinC16．函数yfx的定义域是0,2，则函数yfx1的定义域是__________.111]

17．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

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18．已知集合Ax|0x≤3,xR，Bx|1≤x≤2,xR，则A∪B＝ ▲ ．

三、解答题

19．（本小题满分13分） 已知函数f(x)ax33x21， （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

12x2y220．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，且|F1F2|2，点

ab6(2,)在该椭圆上．

2（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆上相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两

点，问F2PF2QPQ是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

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21．已知f（α）=（1）化简f（α）；

2

（2）若f（α）=﹣2，求sinαcosα+cosα的值．

，

22．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=

23．已知函数

．

﹣1，求△ABC的面积．

222

，5（a+b﹣c）=3

ab．

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

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24．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米． （Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

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苏尼特右旗第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

3

【解析】解：∵（x﹣2）+2x+sin（x﹣2）=2， 3

∴（x﹣2）+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2， 3

∵（y﹣2）+2y+sin（y﹣2）=6，

3

∴（y﹣2）+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2， 3

设f（t）=t+2t+sint，

2

则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t+2+cost＞0，

即函数f（t）单调递增．

即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0， 即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y）， ∵函数f（t）单调递增 ∴x﹣2=2﹣y， 即x+y=4， 故选：D． 质．

2． 【答案】B

由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性

【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互独立的， 第一次不被抽到的概率为， 第二次不被抽到的概率为， 第三次被抽到的概率是，

∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是故选B．

3． 【答案】B 【

解

析

】

=，

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考

点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 4． 【答案】D

【解析】

【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：

．

故选D 5． 【答案】D 【解析】

试题分析：当公比q1时，S45S20，成立.当q1时，S4,S2都不等于，所以

或

S4S2q24, S2q2,故选D.

考点：等比数列的性质. 6． 【答案】B

2

【解析】解：已知抛物线y=4

x的焦点和双曲线的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为（即c=

，

，0），

又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，

222

则有a+b=c=10和=，

解得a=3，b=1．

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所以双曲线的方程为：故选B．

2

﹣y=1．

【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．

7． 【答案】A 【解析】解：故选：A．

8． 【答案】D

=

=1+i，其对应的点为（1，1），

【解析】由定积分知识可得9． 【答案】D

，故选D。

【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：

2

故该几何体的表面积为：3×2+3×（

）+=，

故选：D．

10．【答案】C. 【

解

析

】

11．【答案】B

【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R=

2

，S=4πR=12π

=2R，

故选B

12．【答案】C

【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，

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∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）． 故选：C．

【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．

二、填空题

13．【答案】 充分不必要

【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i， ∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2）， 若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0， ∴﹣2＜a＜2，

∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．

14．【答案】

＞0，

x

【解析】解：∵f（x）=ag（x）（a＞0且a≠1），

∴

=ax，

又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）， ∴（∴∴a＞1， ∵

+）′==ax是增函数，

=．

11

∴a+a﹣=，解得a=或a=2．

综上得a=2． ∴数列{∵数列{

}为{2n}．

}的前n项和大于62，

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23n

∴2+2+2+…+2==2n+1﹣2＞62，

即2

n+1

6

＞64=2，

∴n+1＞6，解得n＞5． ∴n的最小值为6． 故答案为：6．

【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．

15．【答案】②④ 【解析】

试题分析：对于①中，由正弦定理可知asinAbsinB，推出AB或AB2形或直角三角形，所以不正确；对于②中，asinBbsinA，即sinAsinBsinBsinA恒成立，所以是正

确的；对于③中，acosBbcosA，可得sin(BA)0，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知

，所以三角形为等腰三角

abc是正确，故选选②④．1 sinAsinBsinC考点：正弦定理；三角恒等变换． 16．【答案】1,1 【解析】

考

点：函数的定义域. 17．【答案】0.6

【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．

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故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

18．【答案】1－1，3] 【解析】

试题分析：A∪B＝x|0x≤3,xRx|1≤x≤2,xR＝1－1，3] 考点：集合运算 【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

三、解答题

19．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3ax26x3x(ax2)， （1分）

22或x0，解f(x)0得0x， aa22∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分）

aa②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

22③当a0时，解f(x)0得x0，解f(x)0得x0或x

aa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a4∵f0，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分） 2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,) （12分）

21综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （13分）

2①当a0时，解f(x)0得x第 12 页，共 16 页

20．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．

21．【答案】

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【解析】解：（1）f（α）=

=

=﹣tanα；…5（分） （2）∵f（α）=﹣2， ∴tanα=2，…6（分）

2

∴sinαcosα+cosα=

===

．…10（分）

22．【答案】

【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

，0＜A＜π，

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵∴a=

=．

=c，

，

×+×=﹣

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∵a﹣c=∴a=

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

23．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=

．

≥0在[1，+∞）上恒成立．

要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需结合a＞0可知，只需a易知，此时

，x∈[1，+∞）即可．

=1，所以只需a≥1即可．

=0得

．

（2）结合（1），令f′（x）=

当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0； 当

时，

，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在

上f′（x）＞0，

所以此时f（x）在当

时，

上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；

，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，

．

所以f（x）min=f（e）=

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2， 则有

（平方米），

米，则

可知，池底长方形宽为（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当

，即x=40时取等号，

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所以x=40时，总造价最低为297600元． 答：x=40时，总造价最低为297600元．

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