数学建模作业7按年龄分组的模型

佛山科学技术学院 上 机 报 告 课程名称 数学建模 上机项目 按年龄分组的模型 专业班级 姓 名 学 号 一、 问题提出 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0～5岁；第二组6～10岁；第三组11～15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各有1000头。 （1）编程，计算5年后、10年后、15年后、20年后各年龄段动物数量，50年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？ （2）根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有X(k1)≈1X(k)（1是莱斯利矩阵L的唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。 （3）如果每五年平均向市场供应动物数c＝s前提下，计算c应取多少为好？ ss，在20年后农场动物不至灭绝的T二、问题分析 （1）在初始时刻0～5岁、6～10岁、11～15岁的三个年龄段动物数量分别为： (0)(0)(0) x1＝1000， x2＝1000， x3＝1000 以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量X＝[x1表示。以五年为一个时间段，记X(k)x2x3]T(k)＝[x1(k)x2(k)Tx3]为第k个时段动物数分布向量。当k＝0，1，2，3时，X(k)分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由此得第一年龄组在第k＋1个时间段的数量如下： x1(k1)＝4x2＋3x3 (k)(k)同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式 (k1)(k)(k)(k1) x2＝0.5x1， x3＝0.25x2 （2）建立数学模型如下： (k1)(k)(k) x1＝4x2＋3x3 (k1)(k) x2＝0.5x1 （k＝0，1，2，3） (k)(k1) x3＝0.25x2 改写成矩阵形式 x1(k1)043x1(k)(k1)x(k) （k＝0，1，2，3） x20.5002(k1)(k)x300.250x3由此得向量X(k)和X(k1)的递推关系式 (k1) X其中矩阵 ＝LX(k) 430 00 L＝0.500.250称为莱斯利矩阵，进一步有 X （3）如果每个五年平均向市场供应动物c＝s X X X X所以有 (1)(2)(3)(4)(k1)＝Lk1X(0) ss，分析动物数分布向量变化规律可知 T＝LX＝LX＝LX＝LX4(0)(1)(2)(3)－c －c －c －c －（L＋L＋L＋I）c 32 X＝LX考虑20年后动物不灭绝，应有 X即有 (4)(4)(0)＞0 24(0) （L＋L＋L＋I）c＜LX3 T由于c是常数向量，简单求解不等式组，可取c=[152 152 152] 三、模型假设 1、在繁衍期间，没有人为干涉且无动物疫情发生； 2、繁殖期间三组动物喂养食物，生长环境均相同。 符号说明 (0)(0) 1、x1(0)、x2、x3表示初始时三个年龄段动物数量； 2、X(k)分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量 3、X(k1)＝LX(k)表示向量X(k)和X(k1)的递推关系式 四、模型建立 （显示模型函数的构造过程） 建立数学模型如下： (k1)(k)(k) x1＝4x2＋3x3 x2改写成矩阵形式 (k1)＝0.5x1 （k＝0，1，2，3） (k)(k)(k1) x3＝0.25x2 x1(k1)043x1(k)(k1)x(k) （k＝0，1，2，3） 00 x20.52(k1)(k)x3x300.250由此得向量X(k)和X(k1)的递推关系式 (k1) X其中矩阵 ＝LX(k) 430 00 L＝0.500.250称为莱斯利矩阵，进一步有 X 如果每个五年平均向市场供应动物c＝s X X X X所以有 (1)(2)(3)(4)(k1)＝Lk1X(0) Tss，分析动物数分布向量变化规律可知 ＝LX＝LX＝LX＝LX4(0)(1)(2)(3)－c －c －c －c －（L＋L＋L＋I）c 32 X＝LX考虑20年后动物不灭绝，应有 X即有 (4)(4)(0)＞0 24(0) （L＋L＋L＋I）c＜LX3 T由于c是常数向量，简单求解不等式组，可取c=[152 152 152] 五、模型求解 （显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果） （1） 建立程序wenti1.m，如下： x0=[1000;1000;1000]; L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; x1=L*x0 x2=L*x1 x3=L*x2 x4=L*x3 x5=L*x4; x6=L*x5; x7=L*x6; x8=L*x7; x9=L*x8; x10=L*x9 结果为： x1 = 7000 500 25 x2 = 2750 3500 125 x3 = 14375 1375 875 x4 = 1.0e+003 * 8.1250 7.1875 0.3438 x10 = 1.0e+005 * 1.3238 0.6667 0.0681 （2） （在程序wenti1.m中继续写下下面的程序，一起运行） eig(L) ans = 1.5000 -1.3090 -0.1910 建立程序wenti2.m，如下： x=[1000; 1000; 1000]; %a=eig(L) d1=1.5; L=[0 4 3; 1/2 0 0; 0 1/4 0]; y=L*x; y1=d1*x; k=1; while max(abs(y-y1))>0.001 x=y; y=L*x; y1=d1*x; k=k+1; end k 结果为： k = 285 (3)建立程序wenti2.m，如下： L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; i=eye(3); A=L^3+L^2+L+i x0=[1000;1000;1000]; B=L^4*x0 c1=B(1)/sum(A(1,:)) c2=B(2)/sum(A(2,:)) c3=B(3)/sum(A(3,:)) 结果为： A = 3.3750 12.7500 9.0000 1.5000 3.3750 1.5000 0.1250 0.7500 1.3750 B = 1.0e+003 * 8.1250 7.1875 0.3438 c1 = 323.3831 c2 = 1.1275e+003 c3 = 152.7778