必修一答案--高中数学必做100题

1. 试选择适当的方法表示下列集合：

（1）函数yx2x2的函数值的集合； （2）yx3与y3x5的图象的交点集合.

17解：（1）yxx2x ……（3分）

2422 y7，……（5分） 4故所求集合为y|y（2）联立解得7.……（6分） 4yx3，……（8分）

y3x5x2，……（10分）

y1故所求集合为

2,1.……（12分）

2. 已知集合A{x|3x7}，B{x|5x10}，求CR(AB)、CR(AB)、(CRA)B、

A(CRB). （◎P14 10）

解：CR(AB)x|x3或x10，……（3分）

CR(AB)x|x5或x7，……（6分）

(CRA)Bx|7x10，……（9分）

A(CRB)x|x7或x10.……（12分）

3. 设全集U{xN*|x9}，A{1,2,3}，B{3,4,5,6}. （◎P12 例8改编） （1）求AB，AB，CU(AB)，CU(AB)； 解：AB1,2,3,4,5,6，……（1分）

AB3，……（2分） CU(AB)7,8，……（3分） CU(AB)1,2,4,5,6,7,8.……（4分）

（2）求CUA， CUB， (CUA)(CUB)，(CUA)(CUB)；

解：CUA4,5,6,7,8，……（5分）

CUB1,2,7,8，……（6分）

(CUA)(CUB)1,2,4,5,6,7,8，……（7分） (CUA)(CUB)7,8. ……（8分）

（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.

解：CU(AB)(CUA)(CUB)，……（9分）CU(AB)(CUA)(CUB). ……（10分） Venn图略. ……（12分）

4. 设集合A{x|(x4)(xa)0,aR}，B{x|(x1)(x4)0}. （◎P14 B 4改编） （1）求AB，AB；

解：①当a4时，A4，B1,4，故AB1,4，AB4；……（2分） ②当a1时，A1,4，B1,4，故AB1,4，AB1,4；……（4分） ③当a4且a1时，Aa,4，B1,4，故AB1,a,4，AB4. ……（6分）

（2）若AB，求实数a的值；

解：由（1）知，若AB，则a1或4. ……（8分）

（3）若a5，则AB的真子集共有 个, 集合P满足条件(AB)刎P(AB)，写出所有可能的集合P.

解：若a5，则A4,5，B1,4，故AB1,4,5，此时A7个. ……（10分） 又

B的真子集有

AB4，满足条件(AB)刎P(AB)的所有集合P有1,4、4,5. ……

3x. 4x114（12分） 5. 已知函数f(x)（1）求f(x)的定义域与值域（用区间表示） （2）求证f(x)在(,)上递减. 解：（1）要使函数有意义，则4x10，解得x. ……（2分） 所以原函数的定义域是{x|x}.……（3分）

1414y3x1124x1(4x1)1311311 0，……（5分）

4x144x144x1444x144所以值域为{y|y}.……（6分） （2）在区间141,上任取x1,x2，且x1x2，则 4fx1fx213x2x13x13x2……（8分） 4x114x214x114x21x1x2，x2x10……（9分）

又x1,x21,，4x110,4x210，……（10分） 414fx1fx20

fx1fx2，……（11分）函数f(x)在(,)上递减. ……（12分）

x(x4),x06. 已知函数f(x)，求f(1)、f(3)、f(a1)的值.（◎P49 B4）

x(x4),x0解：f(1)5，……（3分）f321，……（6分）

2a6a5,a1.……（12分） fa12a2a3,a17. 已知函数f(x)x22x. （☆P16 8题）

（1）证明f(x)在[1,)上是减函数;（2）当x2,5时，求f(x)的最大值和最小值. 解：（1）证明：在区间[1,)上任取x1,x2，且x1x2，则有……（1分）

f(x1)f(x2)(x122x1)(x222x2)(x2x1)(x1x22)，……（3分）

∵x1,x2[1,)，x1x2，……（4分）

∴x2x1x1x20,即f(x1)f(x2)0……（5分） ∴f(x1)f(x2)，所以f(x)在[1,)上是减函数．……（6分） （2）由（1）知f(x)在区间2,5上单调递减，所以

f(x)maxf(2)0,f(x)minf(5)15……（12分）

8. 已知函数f(x)loga(x1),g(x)loga(1x)其中(a0且a1)．（◎P84 4）

（1）求函数f(x)g(x)的定义域；

（2）判断f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由；

（3）求使f(x)g(x)0成立的x的集合. 解：（1）f(x)g(x)loga(x1)loga(1x).

x10若要上式有意义，则，即1x1. ……（3分）

1x0所以所求定义域为x1x1 ……（4分） （2）设F(x)f(x)g(x)，则

F(x)f(x)g(x)loga(x1)log(1x)F(x).……（7分）

所以f(x)g(x)是偶函数. ……（8分）

（3）f(x)g(x)0，即 loga(x1)loga(1x)0，loga(x1)loga(1x).

x10当0a1时，上述不等式等价于1x0，解得1x0.……（10分）

x11xx10 当a1时，原不等式等价于1x0，解得0x1.……（12分）

x11x综上所述, 当0a1时，原不等式的解集为{x1x0}；当a1时，原不等式的解

集为{x0x1}.

bx(b0,a0). （☆P37 例2） 2ax111（1）判断f(x)的奇偶性； （2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值.

229. 已知函数f(x)解：（1）f(x)定义域为R，f(x)（2）由f(1)bxf(x)，故f(x)是奇函数. ……（6分）

ax21b1，则a2b10.……（8分） a12又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. ……（10分）

a2b10由，解得a=1，b=1. ……（12分）

4ab3

10. 对于函数f(x)a2(aR). （1）探索函数f(x)的单调性；（2）是否存在实2x1数a使得f(x)为奇函数. （◎P91 B3） 解: (1)

f(x)的定义域为R, 设x1x2,

2x12x211则f(x1)f(x2)ax=,……（3分） ax221121(12x1)(12x2)x2,……（5分） )0x1x2, 2x12x20,(12x1)(12f(x1)f(x2)0,

即f(x1)f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数. ……（6分）

（2）假设存在实数a使f(x)为奇函数, f(x)f(x)……（7分） 即a22,……（9分） axx2121 解得: a1.……（12分）

11. （1）已知函数f(x)图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P40 9）

x f (x) －2 －3.51 －1.5 1.02 －1 2.37 －0.5 1.56 0 －0.38 0.5 1.23 1 2.77 1.5 3.45 2 4.89 （2）已知二次方程(m2)x23mx10的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m的取值范围. 解：（1）由f(2)f(1.5)0，f(0.5)f(0)0，f(0)f(0.5)0，……（3分） 得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分） （2）设f(x)=(m2)x23mx1，则f(x)=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).

f(1)f(0)0(2m1)10所以，……（8分）即， ……（10分）

f(2)f(0)0(10m7)10 ∴ m

12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：

销售单价/元 50 51 52 53 54 55 56 日均销售量/个 48 46 44 42 40 38 36 为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （☆P49 例1） 解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.

设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为[482(x50)]个. 由于x400，且482(x50)0，得40x74.……（3分）

则日均销售利润为y(x40)[482(x50)]2x2228x5920，40x74.……（8分）

易知，当x127．……（12分） 1022857，y有最大值. ……（11分）

2(2)所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变

化，满足关系式QQ0et400，其中Q0是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含

量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P44 9）

tt400解：（1）∵ Q00，0，e1， ∴ QQ0e为减函数. ……（3分）

400 ∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分） （2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q0e 两边去自然对数，x400x11400Q0，即e，……（8分） 22x1ln，……（10分） 4002解得x400ln2278.……（11分）

∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）

14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)px2qxr（其中p,q,r为常数，且p0）或指数型函数g(x)abxc（其中a,b,c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.（☆P51 例2） 解：当选用二次函数f(x)px2qxr的模型时，

∵fxpx2qxrp0，由f12,f21.2,f31.3，有

pqr14p2qr1.2， 解得p0.05,q0.35,r0.7，……（4分） 9p3qr1.3 ∴f41.3.……（5分）

当选用指数型函数g(x)abxc的模型时，

∵gxabxc, 由g11,g21.2,g31.3, 有

abc12abc1.2 ，解得a0.8,b0.5,c1.4， ……（9分） 3abc1.3 ∴g41.35.……（10分）

根据4月份的实际产量可知，选用y0.80.51.4作模拟函数较好. ……（12分）

x

15. 如图，OAB是边长为2的正三角形，记OAB位于直线xt(t0)左侧的图形的面积为f(t). 试求函数 f(t)的解析式,并画出函数yf(t)的图象. （◎P126 B2）解：（1）当0t1时，

如图，设直线xt与OAB分别交于C、D两点，则

y B O x=t A x OCt，

又

CDBE311323，CD3t，ftOCCDt3tt OCCE1222……（4分） （2）当1t2时，

如图，设直线xt与OAB分别交于M、N两点，则AN2t，

MNBE33，MN32t 又

ANAE111332ft23ANMN32tt223t3

2222……（8分）

（3）当t2时，ft3. ……（10分）

32t,0t1232ftt23t3,1t2……（12分）

23,t2

16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；

（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P45 例3） 解：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分） 当t≥1时，y()ta，此时M(1,4)在曲线上， ∴4()1a,a3，这时y()t3. ……（5分）

121212(0t1)4t所以yf(t)1t3.……（6分）

()(t1)24t0.25（2）∵ f(t)0.25,即1t3， ……（8分）

()0.25211t解得16 ，……（10分）∴ t5.……（11分）

16t5115 ∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为54个小时. ……（12分）

1616