方法总 ：结
对于数列的通的变项形， 除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根 据图形进行推理 。其余形式我们一般遵循以下几个原则：
①对于同时出现an ,n , Sn 的式子，首先要对等式进行化简。 同除一个式子，同加，同减，取倒数等，
②利用 an 项方法求出通； 项
③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变熟悉的等差数列或等比数列； 们我为
④对于出现
2
常用的化简方法是因式分解，或者
如果出现分式，将分式化简成整式；
Sn Sn 1关系消掉 Sn （或者 an ），得到关于 an 和 n的等式，然后用传统的求通
a 或 S （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提
n
n
2
取公因式法；遇到 an a时还会两同除 an 边
n 1
an 1 .
1.规律性形式求通项
1-1.数列 { an}满足 an+1= ，若 a1= ，则a2016 的值是（
）
A． B． C． D．
?B ?曼德尔布罗特（ Benoit B ．Mandelbrot ）在 20 世纪70 年
1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦
代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多域的难领题提供了全新的思路．下图按照
的分形规律生长成一个树形图，则第 12 行的实心圆点的个数是（ ）
A． 55 B．89 C．144 D．233
“莱布尼兹调和三角形
”，它们是由整数的倒数组成的，
第 n 行有 n 个数
，
，
1-3.如图所示的三角形数阵叫
且两端的数均为（n≥ 2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
1
，⋯ ，则第 10 行第 4 个数（从左往右数）为（ ）
A． B． C． D ．
2.出现an , n, Sn 的式子
1-4.正项数列 {an} 的前项和 {an}满足 :
2 n
s
( 2
n 1) n s
n
( 2 ) 0
n n
(1)求数列 {an} 的通项公式 an;
n 1
(2)令
2
2
*
n
5
.
b
n
,数列 {b n}的前 n项和为Tn .证明 :对于任意的
n N ,都有 T
64
n 2 a
n
1-5.设数列
(1)
an 的前 n项和为Sn .已知 a1 1,
; 求 a2 的值
2S n
1
2
n
*
2 ,
n N .
a
n 1
n 3
n
3
(2) 求数列
an 的通项公式 .
2
*
1-6.已知首项都是 1 的两个数列 an ， bn (bn
(1)令
0,n N ) 满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 .
a
n
c
n
，求数列 cn 的通项公式；
b
(2)若
n
n 1
b
n
3 ，求数列 an 的前 n 项和 Sn .
牛刀小试：
1.已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn，a1＝1，且 2nSn 足 b
n 2
1
2(n 1) Sn n( n 1)( n N* ) ，数列 { bn } 满
2b
n
1
b
n
0(n N*) ，b3 5 ，其前 9 项和为 63.
（1）求数列数列 { an } 和{ bn } 的通项公式；
2.已知数列
an 的前 n 项和为 Sn ,且
1
a
1
, a
n
n 1
1
. a
n
2
(1)求
2n
an 的通项公式 ;
*
*
(2)设
b
n
n 2 S ,n N ，若集合M
n
n b
n
,n N 恰有 4个元素 ,求实数 的取值范
围.
3
3.需构造的（证明题） 1-7.已知数列
an 的前 n项和为Sn ,且满足 an
1 是等差数列 ;
2Sn Sn 1 0 n 2 ,
1
.
1
a
2
(1) 求证:
S
n
(2)求 an 表达式；
n
1-8.设数列 { an} 的前 n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3
n
）．
*
（n∈N
（1）求证： { Sn﹣3 } 是等比数列； （2）若 { an}为递增数列，求
a1 的取值范围．
牛刀小试
2 ，
1．已知数列 { an } 中， a1
2a
n
n 1
3
．
a
a
n
(n N ) 1
（2）求数列
n
1
（1）证明：数列
1 a
n
是等比数列；
a
n
的前 n项和为Sn ．
4
1
2.数列 { an } 中， a1
1， an
1
2
，b
n
1
4a
n
( ) n N ．
2an 1
（1）求证：数列 { bn } 是等差数列；
二、数列求和与放缩
数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才 可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数 （分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。 一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。
n 1
放缩，怎么去放缩是重点，
2 a
n
2-1.
a 数列 an 满足
1
(
2,a
n 1
)
n N
.
1
n
n
2
（1）设
n n
a
n
2
，求数列
bn 的通项公式 .
b
n
2 a
1
，数列
（2）设
c
n
c 的前 n 项和为 S ，不等式
n
n
n n
1
a
n 1
1 2 1 对一切 n N 成立，
m 4 m S n 4
求 m 的范围 .
2-2.设数列
an 满足 a1
0 且
1
1
1 1 a n
1 a n
1.
（1）求 a
n
的通项公式；
（2）设
1
n
a
n
n 1
b
n
,记S
n
k 1
b ,证明：S
k
n
1.
5
2-3
2-4
2-5
牛刀小试：
6
1.已知等差数列 { an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列． (1)求数列 { an}的通项公式；
n－1
4n
，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.
＋
(2)令 bn＝(－1)
anan
1
三、数列与不等式问题
在这类题目中一般是要证明
a
n
f n 或者一个常数
，一般思路有两种： 1.若{ an} 可求和 Sn ，
则可直接求出其和，再转化为
S
n
f n
，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；
1 的过程。
2.若{ an}
不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复
1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么 办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项 开始放缩。
2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的
n 看做自变量， an 看做因变
an 量
f (n)n N ，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般
出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。
3-1.设各项均为正数的数列
an 的前 n
项和为 Sn ，且 Sn 满足
2 n
2
3 n
S
n
2
S n
3 n n 0，
n N .
（1）求 a 的值；
1
（2）求数列
an 的通项公式；
n ，有
1
1
2
（3）证明：对一切正整数
1 a a
2
1
1
an an 1
1 3
a a 1
1
.
7
3-2．记公差不为0 的等差数列 {an} 的前 n项和为Sn ， S (1) 求数列 { an} 的通项公式 an 及 Sn ；
n
9 ， a3， a5，a8 成等比数列．
3
2
) ，n=1，2，3，⋯ ，问是否存在实数
，使得数列 {cn}为单调递减数列？若存
(2) 若 c
n
2 (
a
n
在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
牛刀小试：
1
1.数列
an
Sn ，已知 的前 n项和为
1
S
，
n
2
n a
n
* ( 1)
n n ( n N ).
a
2
(1) 求 a2, a3 ； (2)
求数列
an 的通项；
(3)设
1
n n+1
b
n
S S
,数列 bn
Tn ,证明 : 的前 n项和为
T
n
5 * ( n N ). 2
2.设数列
an 的前 n项S .已知 a1 1, 和为
n
2S
n
1
2 *
2 ,
n N .
(1) 求 a2 的值;
a
n 1
n 3
n
3
n
8
(2)
求数列
an 的通项公式 ;
n,有 a
(3) 证明:对一切正整数
1
1
1
a
2
1 a
n
7 . 4
3.
数列作业
2
1.设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且
n 4 4
，
S
n
n
（1）求数列 an 的通项；
（2）设 b
n
a n
n
1
T
n
，数列 bn 的前 n项和为 Tn ,求证： 2 1 .
4
2.已知 {an} 是各项均为正数的等比数列，且 (I) 求数列 { an} 的通项公式；
a1 a2 2, a3 a4 32.
b
1
b
2
b
3
b
n
a
n 1
n N
*
，求数列 bn 的前 n 项和。
(II) 设数列 bn 满足 1(
1
2
3
2n 1
)
9
*
3.已知数列
an 的各项均为正数，其前 n
项和为 Sn ，且满足
a1 1,an 1 2 Sn 1， n N
.
（1）求 a2 的值；
（2）求数列 a 的通项公式；
n
（3）是否存在正整数 k , 使ak , S2k 1 , a4k 成等比数列 ? 若存在 , 求 k 的值； 若不存在 , 请说明理 由.
4.已知 Sn 为数列 an
n 项和， Sn 的前 nan 3n( n 1) （
*
n N ），且 a2 11．
（1）求 a1 的值； （2）求数列 a
n
n 项和 Sn ； 的前
n
n
（3）设数列 { b } 满足 b
n
n
S
，求证：
2
1
2
b b b
n
3n 2 . 3
5.设数列
an n项和为 Sn ，且 an 的前 Sn 1.
（1）求数列 a 的通项公式；
n
1
（2）设数列 bn 满足： b
n
1
，且数列 cn
1，又 c a
n
n
n项和为 Tn ，求证： 的前
a b b
n 1 n n 1
2 T
n
.
3
10
6.已知数列 { bn}满足 3(n＋1)bn＝nbn＋
1，且 b1＝3.
(1)求数列 { bn}的通项公式； (2)已知 an n＋1 ＝ ，求证：
5 ≤ 1 ＋ 1 ＋⋯
1
bn 2n＋3
6 a<1. 1
＋ aan
2
7.已知数列 { an} 的前 n项和为Sn，且 Sn＝2an－ 1；数列 { bn}足满
bn－
1－bn＝bnbn 1.
(1)求数列 { an}， { bn} 的通项公式； (2)求数列 an b
的前 n和项
Tn
n. 8.设等差数列 an 的前 n项和为Sn ,且 S4 4S2 , a2n 2an 1.
(1)求数列 an 的通项公式 ;
(2)设数列
b
1
n 前 n项和为Tn ,且
a
n
T
(为常数 ).令 cn
b2n
n
n
2
和项Rn .
11
*
)，b
1＝－
1( n≥ 2， n∈N
*
(n N ) .求数列 cn 的前 n
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