新版精编2019高考数学《导数及其应用》专题完整考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷

导数及其应用

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f'(x)，f'(0)0，对于任意实数x都有

2f(x)0，则

A．3

f(1)的最小值为（ ）（2007江苏9） f'(0)B．

53 C．2 D． 2212．（2009天津卷理）设函数f(x)xlnx(x0),则yf(x)

311A在区间(,1),(1,e)内均有零点。 B在区间(,1),(1,e)内均无零点。

ee1C在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。

e1D在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。

e【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

二、填空题

3．函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的

解集为_________________.

4．（文）已知函数f(x)xax3ax1在区间(,)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是

5．若f(x)ax3x在R上是单调函数，则a的取值范围为_____▲ __ 6．已知函数fxmxlnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为

23'32_________． 7． 函数y12xlnx的单调递减区间为 __________________. 28．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：

y=x+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。

2x

9．函数y＝2的极大值为______，极小值为______．

x＋1[答案] 1 －1

2(1＋x)(1－x)

[解析] y′＝，

(x2＋1)2令y′>0得－11或x<－1， ∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.

/10．已知定义在R上的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)且

/222

yf(x1)为偶函数，f(2)1，则不等式f(x)ex的解集为 ▲ .

1x在x[1,3]上的最小值为_______________ x1/12． 已知函数f(x)的导数f(x)a(x2)(xa),且f(a)是其极大值,则实数a的取值

11．函数y范围是___________.

13．设直线y

1xb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b的值是 2x2a14．若函数f(x)在x1处取极值，则a

x12x(x1)(x2a)【解析】f’(x)＝

(x1)2 f’(1)＝

三、解答题

15．设函数f(x)(x2axa)ex，其中xR，a是实常数，e是自然对数的底数． （1）确定a的值，使f(x)的极小值为0；

（2）证明：当且仅当a3时，f(x)的极大值为3；

（3）讨论关于x的方程f(x)f'(x)2xexx2(x0)的实数根的个数．

3a＝0  a＝3 4

16．设函数f(x)a332xx(a1)x1,其中a为实数。 32(Ⅰ）已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；

(Ⅱ）已知不等式f(x)xxa1对任意a(0,)都成立，求实数x的取值范围。

17．已知函数f(x)xaxbx2与直线4xy50切于点P（1，1）． (Ⅰ）求实数a,b的值；

(Ⅱ）若x0时，不等式f(x)mx2x2恒成立，求实数m的取值范围．

18．已知f(x)xbxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，g(x)(xa)f(x)． （Ⅰ）求曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若当x1时函数yg(x)取得极值，确定yg(x)的单调区间．

2232'20],x2[1,2]. 19．设函数fxx3bx3cx在两个极值点x1、x2，且x1[1，32（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点

b,c的区域；

(II)证明：10fx21 2分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

fx3x26bx3c由题意知方程

fx0有两个根x1、x2

且x1[1，0],x2[1,2].则有f10，

f00，f10，f20故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点b,c的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标

fx2x233bx223cx2中的b，（如果消 c会较繁琐）再利用x2的范围，并借助（I）

中的约束条件得c[2,0]进而求解，有较强的技巧性。

2解析 由题意有fx23x26bx23c0．．．．．．．．．．．．①

又fx2x23bx23cx2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

32消去b可得fx2又

133cx2x2． 221x2[1,2]，且c[2,0] 10f(x2)

21220．已知函数f(x)=x－ax+(a－1)lnx，a1。

2（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有解析 (1)f(x)的定义域为(0,)。

f(x1)f(x2)1。

x1x2a1x2axa1(x1)(x1a)f(x)xa2分

xxx'（i）若a11即a2,则

(x1)2f(x)

x'故f(x)在(0,)单调增加。

(ii)若a11,而a1,故1a2,则当x(a1,1)时，f(x)0;

'当x(0,a1)及x(1,)时，f(x)0

故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。

(iii)若a11,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加. (II)考虑函数 g(x)f(x)x

'12xax(a1)lnxx 2则g(x)x(a1)a1a12xg(a1)1(a11)2 xx由于1g(x1)g(x2)0，即f(1x)f(2x)x1，0故2xf(x1)f(x2)1，当

x1x20x1x2时，有

f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)1·········12分

x1x2x2x121．已知函数f(x)18）

2xb，求导函数f(x)，并确定f(x)的单调区间．（北京卷2(x1)22．现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V （cm3） (1) 求出x 与 y 的关系式； (2) 求该铁皮盒体积V的最大值；

ABDC

23．已知函数f(x)mxalnxm,g(x)（1）求g(x)的极值；

（2）设m1,a0，若对任意的x1,x2[3,4](x1x2)，f(x2)f(x1)立，求a的最小值；

（3）设a2，若对任意给定的x0(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1t2)，使得f(t1)f(t2)g(x0) 成立，求m的取值范围．（本小题满分16分）

11恒成g(x2)g(x1)ex，其中m，a均为实数． ex

24．已知函数g(x)恒成立，

（1）求实数a的取值范围；

（2）在区间[t,t1]上满足不等式h(x)1的解有且只有一个,求实数t的取值范围（直接写答案，不必写过程）；

(3)若f(x)h(x)x22x, 试判断在区间(0,m)内是否存在一个实数b，使得函数f(x)的图像在xb处的切线的斜率等于m2m1,并说明理由．

12xa，h(x)2xg(x)1，若对任意x(0,2],不等式g(x)x102

a225．已知函数fxx，gxxlnx，其中a0．

x（I）若x1是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；

（II）若对任意的x1,x21，e（e为自然对数的底数）都有fx1≥gx2成立， 求实数a的取值范围。（2010永嘉一中模拟）

关键字：已知极值点；求参数的值；要检验；两函数；恒成立问题；求最值

26．设fxax56lnx,其中aR,曲线yfx在点1,f1处的切线与y轴相交于点0,6.

(1)确定a的值; (2)求函数fx的单调区间与极值. （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））

27．若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：

2f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l:ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直

线”．

已知h(x)x，(x)2elnx(e为自然对数的底数)． (1）求F(x)h(x)(x)的极值；

(2）函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

28．设工厂Ａ到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B． 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站, 再由车站D向工厂修一条公路． 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5, 那么Ｄ应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂所需运费最省? （本题满分15分） 解. 设BD之间的距离为xkm, 则AD／km, 那么铁路运费为y,

2x2202,CD100x，如果公路运费为a元

3a元／km． 故从原料供应站Ｃ途经中转站Ｄ到工厂Ａ所需运费为5y33aCDaADa(100x)ax2400,(0x100) 55∴ya35axx2400 令3axa0 解得x15,(x15)舍去．

25x400且x15是函数在定义域内唯一的极值点． 所以x15是函数最小值点．

由此可知, 车站Ｄ建于Ｂ,Ｃ之间且与Ｂ相距15km处时, 运费最省．

29．（本小题满分16分）

已知函数f(x)axbx,g(x)lnx．

⑴当a0时，①若f(x)的图象与g(x)的图象相切于点P(x0,y0)，求x0及b的值； ②f(x)g(x)在[1,m]上有解，求b的范围；

⑵当b1时，若f(x)g(x)在[,n]上恒成立，求a的取值范围． 30．已知函数f(x)exax1(aR，且a为常数)． （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当a0时，若方程f(x)0只有一解，求a的值； （3）若对所有x≥0都有f(x)≥f(x)，求a的取值范围．

21e