最新精选陕西省西安市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)(已审阅)

陕西省西安市2019届高三上学期期末考试

数学(理)试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A{1，2，3}，B{x|(x1)(2x)0，Z}，则AB（ ）

A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{1，0，1，2，3} 2.复数z1cosxisinx，z2sinxicosx，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1

3.设aR，则“”是“直线l1：ax2y10z1z2与直线l2：x(a1)y40平行”的（ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

lnx，x14.f(x)，且ffe10，则m的值为（ ） m22x3tdt，x≤10A．1 B．2 C.1 D．2

5.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（ ）

A．k6? B．k7? C.k6? D．k7?

6.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则为（ ）

A．2 B．3 C.2 D．3 7.1x1y的展开式中x2y2的系数是（ ） A．56 B．84 C.112 D．168

8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，AB43；则C的实轴长为（ ）

A．2 B．22 C.4 D．8

9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，

1111，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以n，得数列（记为）a1，a2，a3,…，an.234n//

84S3S2的值

S5S3//

则a1a2a2a3an1an等于（ ）

A．n(n1) B．(n1)2 C.n2 D．n(n1)

10.直线y1k(x3)被圆(x2)2(y2)24所截得的最短弦长等于（ ） A.3 B.23 C.22 D.5

11.已知三棱锥SABC所有顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SCABAC1，BAC120，则球O的表面积为（ ）

5A. B.5 C.4 D. 2312.已知函数f(x)sin(x)，（A0，0，则下列区间中是f(x)的单调减区间的是（ ） A．[）满足f(x)f(x)，且f(x)(f)x，

222664527，] B．[，] C.[，] D．[，0] 6336363第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得2粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石；（结果四舍五入，精确到各位）． xy7≤014.设x，y满足约束条件x3y1≤0则z2xy取得最大值时的最优解为．

3xy5≥015.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如右图所示，则该几何体的体积是．

16.若对于曲线f(x)exx上任意点处的切线l1，总存在g(x)2axsinx上处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

sinx)，b(cosx，sinx)，17. 若向量a(3sinx，其中0.记函数f(x)ab1，若函数f(x)的2图象上相邻两个对称轴之间的距离是（1）求f(x)的表达式；

. 2（2）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若ab3，c3，f(C)1，求△ABC的面积.

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18. 某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为（mn），设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为程是否取得优秀成绩相互. （1）求m，n；

（2）设X为该同学取得优秀成绩的课程门数，求X的分布列和数学期望.

4，m，n5246，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课12512519. 如图，在四棱锥中PABCD，底面ABCD为边长为2的正方形，E，F分别为PC，AB的中点.

（1）求证：EF平面PAD；

（2）若PABD，EF平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小.

x2y2320. 已知椭圆C：221（ab0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.

ab2（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值.

121. 已知函数f(x)e2xax（aR，e为自然对数的底数）.

2（1）讨论函数f(x)的单调性；

1（2）若a1，函数g(x)(xm)f(x)e2xx2x在区间(0，)上为增函数，求整数m的最大值.

4请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A、B的极坐标分xrcos2别为(1，)、(3，)，曲线C的参数方程为（为参数）.

yrsin33（1）求直线AB的直角坐标方程；

（2）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值. 23.选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式2xx1m对于任意的xR恒成立. （1）求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下求函数f(m)m

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1的最小值.

(m2)2//

数学（理）参

一、选择题

1-5:ADCBB 6-10:CDBAC 11、12：BA

二、填空题

113.169 14.(5，2) 15.200 16.[0，]

2三、解答题

sinx)，b(cosx，sinx) 17..解：（1）∵a(3sinx，∴f(x)ab113sinxcosxsin2xsin(2x) 2262由题意可知其周期为，2∴f(x)sin(2x) 6，即1，

（2）由f(C)1，得sin(2C)1

6∵0C，∴∴ 2C62C611， 662，解得C3

又∵ab3，c3，由余弦定理得c2a2b22abcos3，

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∴(ab)23ab3，即ab2

13∴由面积公式得△ABC面积为absinC

2218.（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C ∴P(A)4，P(B)m，P(C)n 5246，P(ABC) 125125由已知条件可知：P(ABC)244mn325125∴又mn，则m，n

55(14)(1m)(1n)65125（2）∵X0，1，2，3，P(X0)P(X2)P(ABCABCABC)637，P(X1)P(ABCABCABC)；1251255824，P(X3) 125125∴x的分布列为

19.解：（1）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，

11则EQ∥CD，而AF∥CD

22CD∴四边形AFEQ为平行四边形. ∴EQ∥∴EF∥AQ，而EF平面PAD，AQ平面PAD ∴EF∥平面PAD；

（2）由（1）知，EF∥AQ，因为EF平面PCD

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所以AQ平面PCD，而PD，CD平面PAD ∴AQCD

∵AQCD，ADCD，AQADA

∴CD平面PAD，PA平面PAD ∴PACD，而PABD，CDBDD，所以PA平面ABCD

（注意：没有证明出PA平面ABCD，直接运用这一结论的，后续过程不给分）

由题意，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，向量AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系Axyz

在三角形APD中AQ平面PCD，而PD平面PAD，知AQPD，而PD的中点为Q知APAD2，0，0)，Q(0，则A(0，0，0)，B(2，220)，P(0，0，2) ，)，D(0，2，22AQ(0，220，2)，AQ为平面PCD的一个法向量. ，)，PB(2，22PBAQPBAQ1 2设直线PB与平面PCD所成角为，sin所以直线PB与平面PCD所成角为20.解：（1）由题意知，e所以a2，c3，b1

. 6c3，b2c22，又a2b2c2， a2x2所以椭圆C的方程为y21.

4（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x此时，原点O到直线AB的距离为25. 525. 5当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2). x22y1由4得(14k2)x28kmx4m240 ykxm则△(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，

4m248km，x1x2 x1x214k214k2y1y2m24k21， 则y1y2(kx1m)(kx2m)，由得，即kk1OAOBOAOBx1x214k25m244k242所以x1x2y1y2，即0m(1k2)， 214k5//

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所以原点O到直线AB的距离为dm1k225 5综上，原点O到直线AB的距离为定值25. 5121.解：（1）由f(x)e2xax得f(x)e2xa

2当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数；

lnalna当a0时，x(，)时，f(x)0，x(，)时，f(x)0，

22lnalna所以f(x)在，为减函数，在，为增函数，

2211（2）当a1时，g(x)(xm)(e2xx)e2xx2x

24则g(x)(xm)(e2x1)x1

若g(x)在区间(0，)上为增函数，则g(x)0在(0，)上恒成立，即m立.

e2x(e2x2x3)x1令h(x)2x，x(0，)；则h(x))； x，x(0，(e2x1)2e1x1)上恒成x在(0，e2x1令L(x)e2x2x3，则L(x)2e2x2

当x(0，)时，L(x)2e2x20，则L(x)在x(0，)单调递增 1而L()e40，L(1)e250

2所以函数L(x)e2x2x3在x(0，)只有一个零点，设为，

即x(0，)时，L(x)0，即h(x)0；x(，)时，L(x)0，即h(x)0， ∴h(x)x11，，有最小值x(0，)xh()，

e2x1e211， 2把e223代入上式可得h()13又因为(，1)，所以h()(1，)，

22又mh(x)恒成立，所以mh()，又因为m为整数，所以m1， 所以整数m的最大值为1.

222.解：（1）∵点A、B的极坐标分别为(1，)、(3，)，

3313333∴点A，B的直角坐标分别为(，)、(，)，

2222∴直线AB的直角坐标方程为23x4yi330；

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xrcos（2）由曲线C的参数方程（为参数），化为普通方程为x2y2r2，

yrsin∵直线AB和曲线C只有一个交点， ∴由点到直线的距离公式得半径r33(23)242321 1423.解：（1）∵关于x的不等式2xx1m对于任意的xR恒成立，可得 ∴m(2xx1)max根据柯西不等式，有

(2xx1)2(12x1x1)2≤[1212][(2x)2(x1)2]6

∴2xx1≤6，当且仅当x1时等号成立，故m6. 2（2）由（1）知m20，则f(m)m1111(m2)(m2)2

(m2)222(m2)2∴f(m)3311133(m2)(m2)222 22(m2)2211当且仅当(m2)，即m2326时取等号， 22(m2)所以函数f(m)m

133的最小值为22

(m2)22//