广西南宁三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. “若𝑥=𝑎或𝑥=𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=0”的否命题是( )
A. 若𝑥≠𝑎且𝑥≠𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=0． B. 若𝑥≠𝑎且𝑥≠𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏≠0． C. 若𝑥=𝑎且𝑥=𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏≠0． D. 若𝑥=𝑎或𝑥=𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏≠0．
2. 把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲
分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( )
A. 对立事件 C. 互斥但不对立事件 A. ∀𝑥∈𝑅，都有𝑥2>1 C. ∃𝑥∈𝑅，使得−1≤𝑥≤1
1
B. 不可能事件 D. 以上答案均不对 B. ∀𝑥∈𝑅，都有−1≤𝑥≤1 D. ∃𝑥∈𝑅，使得𝑥2>1 C. 2或−4
1
3. 命题“∃𝑥∈𝑅，使得𝑥2>1”的否定是( )
4. 已知点𝐴(3,2)和𝐵(−1,4)到直线𝑎𝑥+𝑦+1=0的距离相等，则a的值为( )
A. 2
B. −4
D. 2
5. 甲、乙两位学生5次数学测试成绩如茎叶图所示，若甲、乙两人
的平均成绩分别是𝑥1、𝑥2，样本标准差分别为𝑠1、𝑠2，则( )
A. 𝑥1>𝑥2，𝑠1>𝑠2 C. 𝑥1<𝑥2，𝑠1>𝑠2
6. “𝑎>𝑏”是“𝑎𝑐2>𝑏𝑐2”成立的( )
B. 𝑥1>𝑥2，𝑠1<𝑠2 D. 𝑥1<𝑥2，𝑠1<𝑠2 B. 必要而非充分条件 D. 既非充分又非必要
A. 充分而非必要条件 C. 充要条件
条件
7. 如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=𝐵𝐵1=1，P
为𝐴1𝐶的中点，则异面直线BP与𝐴𝐷1所成角的余弦值为( )
1
6 B. √4
2 C. √3
A. 3
√3 3
D.
8. 执行如图所示的流程图，输出的S值为( )
A. 3 B. 21 C. 7 D. 357
9. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛
水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是( )
3051313
2
A. 21
2
B. 14
1
C. 28
3
D. 7
1
10. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )
A. 4
( )
B. 5 C. 3√2 D. 3√3
11. 与⊙𝐶1：𝑥2+(𝑦+1)2=25内切且与⊙𝐶2：𝑥2+(𝑦−2)2=1外切的动圆圆心M的轨迹方程是
𝑥29𝑥29
𝑦25𝑦25
𝑦29𝑦29
𝑥25𝑥25
A. C.
++
=1(𝑦≠0) =1(𝑥≠3)
B. D.
++
=1(𝑥≠0) =1(𝑦≠3)
12. “𝑎≤−2”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+1(𝑥∈𝑅)只有一个零点”的( )
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
13. 为了海门市中学生运动会，现要在学生人数比例为2:3:5的A、B、C三所学校中，用分层抽样
方法抽取n名志愿者，若在A学校恰好抽出了6名志愿者，那么𝑛= ． 14. 不论m取何值，直线𝑥−(𝑚+1)𝑦+3𝑚−1=0都过定点________．
15. 在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥−𝑏在区间[−1,1]上有且只有一个零点
的概率是______ ．
16. 地球表面上从A地(北纬450，东经1200)到B地(北纬450，东经300)的最短距离为(球的半径为
𝑅)__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 某公司的广告费支出x与销售额𝑦(单位：万元)之间有下列对应数据
x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 ̂=∑𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦̂𝑥+𝑎̂𝑥． 回归方程为𝑦̂=𝑏̂其中𝑏̂=𝑦−𝑏2，𝑎∑𝑛𝑥2−𝑛𝑥
𝑖=1𝑖𝑛
̂与x的回归方程； (1)根据表中提供的数据，求出𝑦
(2)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．
⃗⃗⃗ =(a，b)，𝑛⃗ =(2𝑐𝑜𝑠𝐶,−1)，18. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设向量𝑚
⃗⃗⃗ ·𝑛⃗ =0． 且𝑚(1)求
的值；
5
(2)若𝑐=√𝑏，求
2
的值．
19. 某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开
发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分[40,50)，[50,60)，[60,70)，中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的评分分为6组：[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)求这100位市民评分的中位数(精确到0.1)，平均分；
(Ⅱ)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80分以上的市民中选出2位市民作产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90,100]的概率．
20. 如图，在三棱锥𝑉−𝐴𝐵𝐶中，平面𝑉𝐴𝐵⊥平面ABC，△𝑉𝐴𝐵为等边三角
形，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶且𝐴𝐶=𝐵𝐶=√2，O，M分别为AB，VA的中点． (1)求证：𝑉𝐵//平面MOC； (2)求证：𝐶𝑂⊥面VAB； (3)求三棱锥𝐶−𝑉𝐴𝐵的体积．
21. 数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1=4，𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛−3对任意正整数n恒成立，求这个数列的通项公式．
22. 已知圆O：𝑥2+𝑦2=1，点𝑃(−1,2)，过点P作圆O的切线，切点为A，求直线AB的一般式方
程．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：“若𝑥=𝑎或𝑥=𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=0”的否命题是：若𝑥≠𝑎且𝑥≠𝑏，则𝑥2−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏≠0． 故选：B．
利用否命题的定义，写出结果即可．
本题考查四种命题的逆否关系，注意“或”“且”的变换，是基本知识的考查．
2.答案：C
解析：解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张， 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，
又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件，
故两事件之间的关系是互斥而不对立， 故选C．
利用互斥事件、对立事件的定义和性质直接求解．
本题考查互斥事件、对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义和性质的合理运用．
3.答案：B
∀𝑥∈𝑅，解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃𝑥∈𝑅，使得𝑥2>1”的否定是：都有−1≤𝑥≤1． 故选：B．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，考查计算能力．
4.答案：C
解析： 【分析】
本题考查点到直线的距离公式，由题意，知|3𝑎+2+1|√𝑎2+1=
|−𝑎+4+1|√𝑎2+1，由此能求出a，属于基础题．
【解答】
解：∵两点𝐴(3,2)和𝐵(−1,4)到直线𝑎𝑥+𝑦+1=0距离相等， ∴
|3𝑎+2+1|√𝑎2+11
=
|−𝑎+4+1|√𝑎2+1，
解得𝑎=2或𝑎=−4． 故选C．
5.答案：C
解析： 【分析】
本题考查命题真假的判断，考查茎叶图、平均数、方差、标准差的性质等基础知识，是基础题． 利用茎叶图分别求出甲、乙两组数据的平均数和方差，由此能求出结果． 【解答】 解：由茎叶图得：
𝑥1=5(72+77+78+86+92)=81，
2𝑠1=5[(72−81)2+(77−81)2+(78−81)2+(86−81)2+(92−81)2]=50.4，
11
𝑥2=(78+82+88+91+95)=86.8，
5
2𝑠2=[(78−86.8)2+(82−86.8)2+(88−86.8)2+(91−86.8)2+(95−86.8)2]=37.36，
51
1
∴𝑥1<𝑥2，𝑠1>𝑠2． 故选C．
6.答案：B
解析： 【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键． 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】
解：若𝑐=0，当𝑎>𝑏时，𝑎𝑐2>𝑏𝑐2不成立，即充分性不成立， 若𝑎𝑐2>𝑏𝑐2，则𝑐≠0，此时𝑎>𝑏成立，即必要性成立， 故“𝑎>𝑏”是“𝑎𝑐2>𝑏𝑐2”成立必要不充分条件， 故选：B．
7.答案：D
解析：
【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，𝐷𝐷1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与𝐴𝐷1所成角的余弦值． 【解答】
解：∵在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=𝐵𝐵1=1，P为𝐴1𝐶的中点， ∴如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，𝐷𝐷1为z轴，建立空间直角坐标系，
𝐵(1,2，0)，𝐴1(1,0，1)，𝐶(0,2，0)，𝑃(2,1,2)，𝐴(1,0，0)，𝐷1(0,0，1)，
11⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃=(−,−1,)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷1=(−1,0，1)，
2
2
11
设异面直线BP与𝐴𝐷1所成角为𝜃， 则𝑐𝑜𝑠𝜃=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝑃1|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝑃1|
=
11
+22√×√246=
√33．
3∴异面直线BP与𝐴𝐷1所成角的余弦值为√．
3
故选D．
8.答案：B
解析：解：模拟程序的运行，可得 𝑖=0，𝑆=1
执行循环体，𝑆=3，𝑖=1
不满足条件𝑖≥2，执行循环体，𝑆=21，𝑖=2 满足条件𝑖≥2，退出循环，输出S的值为21． 故选：B．
模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序执行的结果．
本题考查循环结构的程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，
1313
2
找规律，属于基础题．
9.答案：A
解析： 【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型，属于基础题．利用组合数计算出所有取法数，列举出所有满足其和等于15的情况，然后求概率即可． 【解答】
331221
解；若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，共有𝐶4 +𝐶5+𝐶4𝐶5+𝐶4𝐶5=84种取法，
(1,5，9)，(2,5，8)，(3,5，7)，(4,5，6)，(3,4，8)，(1,6，8)，(2,4，9)，其中满足其和等于15的有8种：(2,6，7)；
∴若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是𝑝=84=21． 故选A．
8
2
10.答案：D
解析：作出直观图如下图所示，通过计算得到最长为|𝐴𝐹|=√|𝐵𝐹|2+|𝐴𝐵|2=
3√3．
11.答案：D
解析：解：设动圆圆心M的坐标为(𝑥,𝑦)，半径为r，则|𝑀𝐶1|=5−𝑟，|𝑀𝐶2|=𝑟+1， ∴|𝑀𝐶1|+|𝑀𝐶2|=6>|𝐶1𝐶2|=4，
由椭圆的定义知，点M的轨迹是以𝐶1、𝐶2为焦点的椭圆，且2𝑎=6，𝑎=3， ∴𝑏=√5， ∴椭圆的方程为
𝑦29
𝑥25
+=1，
又𝑦=3时，M在⊙𝐶2上，∴𝑦≠3， ∴动圆圆心M的轨迹方程是故选：D．
𝑦29
+
𝑥25
=1(𝑦≠3)．
|𝑀𝐶2|=𝑟+1，设动圆圆心𝑀(𝑥,𝑦)，半径为r，则|𝑀𝐶1|=5−𝑟，可得|𝑀𝐶1|+|𝑀𝐶2|=6>|𝐶1𝐶2|=4，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．
本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12.答案：D
解析：解：若函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+1(𝑥∈𝑅)只有一个零点， 则判别式△=𝑎2−4=0，解得𝑎=2或𝑎=−2，
则“𝑎≤−2”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+1(𝑥∈𝑅)只有一个零点”的既非充分又非必要条件， 故选：D．
根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．
13.答案：30
解析： 【分析】
本题主要考查分层抽样，利用分层抽样是按比例抽取即可求解． 【解答】
解：学生人数比例为2：3：5，A学校恰好抽出了6名志愿者， ∴𝑛=
102
×6=30，
故答案为30．
14.答案：(4,3)
解析： 【分析】
本题考查了直线系过定点问题，属于基础题． 提取参数m，令各项为0即可求解． 【解答】
解：由直线𝑥−(𝑚+1)𝑦+3𝑚−1=0变形为(𝑥−𝑦−1)+𝑚(−𝑦+3)=0， 𝑥−𝑦−1=0𝑥=4
令{，解得{，
𝑦=3−𝑦+3=0
∴该直线过定点(4,3)． 故答案为(4,3).
15.答案：8
解析： 【分析】
根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥−𝑏在区间[−1,1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果． 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果． 【解答】
解：由题意知本题是一个几何概型， ∵𝑎∈[0,2]，
∴𝑓′(𝑥)=3𝑥2+𝑎≥0
∴𝑓(𝑥)是增函数，
若𝑓(𝑥)在[−1,1]有且仅有一个零点， 则𝑓(−1)⋅𝑓(1)≤0
∴(−1−𝑎−𝑏)(1+𝑎−𝑏)≤0， 即(1+𝑎+𝑏)(1+𝑎−𝑏)≥0，
7
由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4−2×1×1=2， ∴𝑃=
72
17
4
=8，
7
7
故答案为8．
16.答案：3
解析：地球表面上从A地(北纬450，东经1200)到B地(北纬450，东经300)，AB的纬圆半径是√，
22𝑅
𝜋𝑅
经度差是900，所以𝐴𝐵=𝑅，球心角是3，𝐴,𝐵的球面距离是3．
𝜋𝜋𝑅
17.答案：解：(1)根据题意，计算𝑥=5×(2+4+5+6+8)=5，
𝑦=5×(30+40+60+50+70)=50，
5
1
1
∴∑𝑥𝑖𝑦𝑖=2×30+4×40+5×60
𝑖=1
+6×50+8×70=1380，
222222∑5𝑖=1𝑥𝑖=2+4+5+6+8=145， 1380−5×5×50̂=∑𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦𝑏=6.5； 2=522
∑𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥
145−5×5
5
̂=𝑦−𝑏𝑥=50−6.5×5=17.5； 𝑎
̂=6.5𝑥+17.5； ∴线性回归方程为𝑦̂=115， (2)由题得：𝑦
即6.5𝑥+17.5=115， 解得𝑥=15．
即大约需要15万元广告费．
解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属于基础题． (1)根据题意，计算𝑥、𝑦，求出回归方程的对应系数，写出回归方程； ̂=115时x的值即可． (2)利用回归方程计算𝑦
⃗⃗⃗ ·𝑛⃗ =0，即可化为2𝑎cos𝐶−𝑏=0． 18.答案：解：(1)因为𝑚由余弦定理，得2𝑎×
𝑎
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
−𝑏=0．
整理得𝑎=𝑐，即𝑐=1． 由正弦定理得(2)由(1)得𝑎=𝑐． 从而
，
又0<𝐵<𝜋，所以．
从而．
解析：本题考查平面向量的数量积公式、正余弦定理以及两角和与差的余弦公式，属于基础题． (1)由𝑚⃗⃗⃗ ·𝑛⃗ =0，得到2𝑎cos𝐶−𝑏=0，再运用余弦定理，将cosC转化为边，运用正弦定理，即可得到答案；
(2)先运用余弦定理得到cosB，进而求出sinB，运用两角和与差的余弦公式，即可得到答案．
19.答案：解：(Ⅰ)由于[40,50)，[50,60)，[60,70)的频率分别为0.1，0.2，0.3，
故中位数位于[60,70)中，其值为60+10×3≈66.7，
平均分为：10×(45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005)=67； (Ⅱ)认可分数位于[80,90)的人数为10人，认可分数位于[90,100]的人数为5人，从认可分数位于[90,100]的5人中随机选择2人的基本事件数为1+2+3+4=10，从认可分数位于[80,90)和[90,100]的15人中随机选择2人的基本事件总数为1+2+3+⋯+14=105， 故这2位宣传员都来自认可分数为[90,100)的概率为105=21．
10
2
2
解析：本题考查了频率分布直方图以及列举法求古典概型的概率问题，是基础题． (1)利用频率分布直方图计算平均数和中位数的估计值即可； (2)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
20.答案：证明：(1)∵𝑂，M分别为AB，VA的中点，
∴𝑉𝐵//𝑂𝑀，又𝑉𝐵⊄平面MOC，𝑂𝑀⊂平面MOC， ∴𝑉𝐵//平面MOC．
(2)∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，O是AB的中点， ∴𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，
又平面𝑉𝐴𝐵⊥平面ABC，平面𝑉𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵，𝑂𝐶⊂平面ABC， ∴𝑂𝐶⊥平面VAB．
(3)∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶且𝐴𝐶=𝐵𝐶=√2，∴𝐴𝐵=2． ∴𝑂𝐶=𝐴𝐵=1．
21
∵△𝑉𝐴𝐵为等边三角形，
∴𝑆△𝑉𝐴𝐵=2×2×2×𝑠𝑖𝑛60°=√3． ∴𝑉𝐶−𝑉𝐴𝐵=3𝑆△𝑉𝐴𝐵⋅𝑂𝐶=3×√3×1=
1
1
√3． 3
1
解析：本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题． (1)由中位线定理得𝑉𝐵//𝑂𝑀，故而𝑉𝐵//平面MOC；
(2)由三线合一可知𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，利用面面垂直的性质得出𝑂𝐶⊥平面VAB； (3)由勾股定理求出AB，OC，得出△𝑉𝐴𝐵的面积，代入棱锥的体积公式即可．
21.答案：解：∵𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛−3，∴𝑎𝑛+1−3=2(𝑎𝑛−3)，
∴
𝑎𝑛+1−3𝑎𝑛−3
=2，∴{𝑎𝑛−3}为等比数列，首项𝑎1−3=4−3=1，公比2，∴𝑎𝑛−3=1×2𝑛−1(𝑛∈𝑁∗)，
∴𝑎𝑛=2𝑛−1+3(𝑛∈𝑁∗)，
即数列的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛−1+3(𝑛∈𝑁∗)．
解析：本题考查利用递推公式求通项公式，属于基础题．
{𝑎𝑛−3}为等比数列，根据题意得，首项𝑎1−3=4−3=1，公比2，从而求出这个数列的通项公式．
22.答案：解：圆𝑥2+𝑦2=1的圆心为𝐶(0,0)，半径为1，
以𝑃(−1,2)、𝐶(0,0)为直径的圆的方程为(𝑥+0.5)2+(𝑦−1)2=1.25， 将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程𝑥−2𝑦+1=0．
解析：求出以𝑃(−1,2)、𝐶(0,0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程 本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
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