一、选择题 1．若分式A．2或﹣2 B．2
的值为零，则x的值是（ ） C．﹣2 D．4
2．下列代数运算正确的是（ ） A．（x3）2=x5
B．（2x）2=2x2 C．（x+1）2=x2+1
D．x3•x2=x5
3．计算（﹣2a﹣3b）（2a﹣3b）的结果为（ ） A．9b2﹣4a2 B．4a2﹣9b2
C．﹣4a2﹣12ab﹣9b2 D．﹣4a2+12ab﹣9b2
4．下列各项多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．3（a﹣2）﹣2a（2﹣a）=（a﹣2）（3﹣2a） C．6a﹣9﹣a2=（a﹣3）2
D．ab（a﹣b）﹣a（b﹣a）2=a（a﹣b）（2b﹣a）
5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab 6．分式方程
的解是（ ）
A． B．﹣ C． D．无解 7．计算（A．﹣
+
）÷（
﹣2﹣2x）的结果是（ ） C．﹣
D．
B．﹣
8．甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救
援队早到20分钟．若设乙救援队的平均速度为x千米/小时，则方程可列为（ ） A．
+=
B．
+1=
C．
﹣=
D．
﹣1=
9．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（ ）
A．18° B．20° C．25° D．15°
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 二、填空题 11．分式
C．10 D． 12
有意义，则x满足的条件是 ．
12．若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
13．近日，获诺贝尔奖的中国科学家屠呦呦接受央视记者采访时表示，青蒿素挽救数百万人生命，但对青蒿素的研究远远没有结束，“青蒿素抗疟是有效的，但抗疟的机理还没搞清楚，大家能把它搞清楚，这个药才能物尽其用发挥更好作用．”其中疟疾病菌的直径约为0.51微米，也就是0.00000051米，那么数据0.00000051用科学记数法表示为 ． 14．若把多项式x2+5x﹣6分解因式为 ．
15．如图，坐标平面上，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为（a，1），BC∥x轴，B点的坐标为（b，﹣3），D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为 ．
16．四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
三、解答题 17．解方程 （1）（2）
==1+
﹣1
．
18．化简分式 （1）（2）（
﹣
÷（x﹣
）÷（
） ﹣x+2）
19．如图，△ABC和△AED为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BE、CD交于点O，连接AO 求证：
（1）△BAE≌△CAD； （2）OA平分∠BOD．
20．利用乘法公式计算
（1）（2x﹣3）（﹣3﹣2x）+（2x﹣1）2 （2）（x+2y+1）（x﹣2y+1）﹣（x﹣2y﹣1）2． 21．将下列多项式因式分解 ①4ab2﹣4a2b+a3
②16（x﹣y）2﹣24x（x﹣y）+9x2 ③6（a﹣b）2﹣3（b﹣a）2．
22．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
23．（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：△DEF为等边三角形
24．已知△ABC中，∠ACB=90°，
（1）如图1，点B与点D关于直线AC对称，连AD，点E、F分别是线段CD、AB上的点（点
E不与点D、C重合），且∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠CAE．求证：BF=DE． （2）如图2：若AC=BC，BD⊥AD，连DC，求证：∠ADC=45°
（3）如图3，若AC=BC，点D在AB的延长线上，以DC为斜边作等腰直角△DCE，过直角顶点E作EF⊥AC于F，求证：点F是AC的中点．
2016-2017学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 1．若分式A．2或﹣2 B．2
的值为零，则x的值是（ ） C．﹣2 D．4
【解答】解：由x2﹣4=0，得x=±2．
当x=2时，x2﹣x﹣2=22﹣2﹣2=0，故x=2不合题意； 当x=﹣2时，x2﹣x﹣2=（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2=4≠0． 所以x=﹣2时分式的值为0． 故选：C．
2．下列代数运算正确的是（ ） A．（x3）2=x5
B．（2x）2=2x2 C．（x+1）2=x2+1
D．x3•x2=x5
【解答】解：A、（x3）2=x6，错误； B、（2x）2=4x2，错误； C、（x+1）2=x2+2x+1，错误； D、x3•x2=x5，正确； 故选：D．
3．计算（﹣2a﹣3b）（2a﹣3b）的结果为（ ） A．9b2﹣4a2 B．4a2﹣9b2
C．﹣4a2﹣12ab﹣9b2 D．﹣4a2+12ab﹣9b2 【解答】解：原式=9b2﹣4a2， 故选：A．
4．下列各项多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．3（a﹣2）﹣2a（2﹣a）=（a﹣2）（3﹣2a）
C．6a﹣9﹣a2=（a﹣3）2 D．ab（a﹣b）﹣a（b﹣a）2=a（a﹣b）（2b﹣a）
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、等式两边不等，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、等式两边不等，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D．
5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab 【解答】解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2， 故选：A． 6．分式方程
的解是（ ）
A． B．﹣ C． D．无解
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣1）得， 2x=3﹣2（2x﹣2）， 去括号得，2x=3﹣4x+4， 解得，x=，
检验：当x=时，2x﹣2≠0，故x=是原分式方程的解， 故选：A． 7．计算（
+
）÷（
﹣2﹣2x）的结果是（ ）
）
A．﹣ B．﹣ C．﹣÷[
D．]
【解答】解：原式====﹣
÷×．
故选：B．
8．甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟．若设乙救援队的平均速度为x千米/小时，则方程可列为（ ） A．
+=
B．
+1=
C．
﹣=
D．
﹣1=
【解答】解：设乙救援队的平均速度为x千米/小时，则甲救援队的平均速度为2x千米/小时；
根据题意得出：故选：B．
9．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（ ）
+1=
．
A．18° B．20° C．25° D．15°
【解答】解：如图延长BD到M使得DM=DC， ∵∠ADB=78°，
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°， ∵∠ADB=78°，∠BDC=24°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，
∴∠ADM=∠ADC， 在△ADM和△ADC中，
，
∴△ADM≌△ADC， ∴AM=AC=AB， ∵∠ABD=60°， ∴△AMB是等边三角形， ∴∠M=∠DCA=60°，
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°， ∴∠BAO=∠ODC=24°， ∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°， ∴24°+2（60°+∠CBD）=180°， ∴∠CBD=18°， 故选：A．
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10． 故选：C．
二、填空题 11．分式
有意义，则x满足的条件是 x≠﹣ ．
【解答】解：3x+1≠0 所以x≠﹣ 故答案为：x≠﹣
12．若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m= ﹣1或7 ． 【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m﹣3）=±8， 解得：m=﹣1或7， 故答案为：﹣1或7．
13．近日，获诺贝尔奖的中国科学家屠呦呦接受央视记者采访时表示，青蒿素挽救数百万人生命，但对青蒿素的研究远远没有结束，“青蒿素抗疟是有效的，但抗疟的机理还没搞清楚，
大家能把它搞清楚，这个药才能物尽其用发挥更好作用．”其中疟疾病菌的直径约为0.51微米，也就是0.00000051米，那么数据0.00000051用科学记数法表示为 5.1×10﹣7 ． 【解答】解：0.00000051=5.1×10﹣7． 故答案为：5.1×10﹣7．
14．若把多项式x2+5x﹣6分解因式为 （x﹣1）（x+6） ． 【解答】解：x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6）， 故答案为：（x﹣1）（x+6）．
15．如图，坐标平面上，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为（a，1），BC∥x轴，B点的坐标为（b，﹣3），D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为 4 ．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，FP⊥DE于P， ∵△ABC≌△FDE， ∴AC=DF，∠C=∠FDE， 在△ACH和△DFP中，
，
∴△ACH≌△DFP（AAS）， ∴AH=FP，
∵A点的坐标为（a，1），BC∥x轴，B点的坐标为（b，﹣3）， ∴AH=4， ∴FP=4，
∴F点到y轴的距离为4， 故答案为：4．
16．四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 70° ．
【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，[] ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°， ∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°． ∴∠MAN=180°﹣110°=70°， 故答案为：70°
三、解答题 17．解方程 （1）（2）
==1+
﹣1
．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3=﹣3﹣x+2， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解； （2）去分母得：x2+2x+1=x2﹣1+5， 解得：x=1.5，
经检验x=1.5是分式方程的解．
18．化简分式 （1）（2）（
﹣
÷（x﹣
）÷（
） ﹣x+2） ÷
【解答】解：（1）原式====
÷×；
（2）原式=[==﹣
×
﹣
]÷
19．如图，△ABC和△AED为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BE、CD交于点O，连接AO 求证：
（1）△BAE≌△CAD； （2）OA平分∠BOD．
【解答】证明：（1）过点A分别作AF⊥BE于F，
∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAE=∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
（2）连接AO并延长交CE为点H， ∵△BAE≌△CAD， ∴BE=CD， ∴AF=AG，
∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G， ∴OA平分∠BOD， ∴∠AOD=∠AOB，
AG⊥CD于G．如图所示：
∵∠COH=∠AOD，∠EOH=∠AOB， ∴∠COH=∠EOH． ∴OA平分∠BOD．
20．利用乘法公式计算
（1）（2x﹣3）（﹣3﹣2x）+（2x﹣1）2 （2）（x+2y+1）（x﹣2y+1）﹣（x﹣2y﹣1）2．
【解答】解：（1）（2x﹣3）（﹣3﹣2x）+（2x﹣1）2=9﹣4x2+4x2﹣4x+1=﹣4x+10； （2）（x+2y+1）（x﹣2y+1）﹣（x﹣2y﹣1）2 =[（x+1）+2y][（x+1）﹣2y]）﹣（x﹣2y﹣1）2 =[（x+1）2﹣4y2﹣x2+4xy+2x﹣4y+4y2﹣1=4xy+4x﹣4y．
21．将下列多项式因式分解 ①4ab2﹣4a2b+a3
②16（x﹣y）2﹣24x（x﹣y）+9x2 ③6（a﹣b）2﹣3（b﹣a）2． 【解答】解：①4ab2﹣4a2b+a3 =a（a2﹣4ab+4b2） =a（a﹣2b）2；
②16（x﹣y）2﹣24x（x﹣y）+9x2 =[4（x﹣y）﹣3x]2 =（x﹣4y）2；
③6（a﹣b）2﹣3（b﹣a）2． =3（a﹣b）2×（2+1） =9（a﹣b）2．
22．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定
价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【解答】解：设第一次购书的单价为x元， ∵第二次每本书的批发价已比第一次提高了20%， ∴第二次购书的单价为1.2x元． 根据题意得：解得：x=5．
经检验，x=5是原方程的解．（6分） 所以第一次购书为1200÷5=240（本）． 第二次购书为240+10=250（本）． 第一次赚钱为240×（7﹣5）=480（元）．
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）=40（元）． 所以两次共赚钱480+40=520（元）（8分）．
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．（9分）
23．（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：△DEF为等边三角形
．（4分）
【解答】（1）解：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）解：如图2，∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）证明：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA， ∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°， ∴△DEF为等边三角形．
24．已知△ABC中，∠ACB=90°，
（1）如图1，点B与点D关于直线AC对称，连AD，点E、F分别是线段CD、AB上的点（点E不与点D、C重合），且∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠CAE．求证：BF=DE． （2）如图2：若AC=BC，BD⊥AD，连DC，求证：∠ADC=45°
（3）如图3，若AC=BC，点D在AB的延长线上，以DC为斜边作等腰直角△DCE，过直角顶点E作EF⊥AC于F，求证：点F是AC的中点． 【解答】解：（1）如图1， 过点E作EH⊥AB于H，交AC于M， 设∠CAE=α，
∴∠ABC=2∠CAE=2α， ∵∠ACB=90°， ∴∠CME=∠ABC=2α，
∴∠AEH=∠CME﹣∠CAE=2α﹣α=α， ∵∠AEF=∠ABC， ∴∠AEF=2α，
∴∠FEH=∠AEF﹣∠AEH=α=∠AEH， ∵EH⊥AB， ∴AE=FE， ∵AC⊥BD，
∵点B与点D关于AC对称， ∴∠ADB=∠ABC=2α，
在△ADE中，∠AED+∠DAE+∠ADB=180°， ∵∠AED+∠AEF+∠BEF=180°， ∴∠DAE+∠ADB=∠AEF+∠BEF， ∵∠AEF=∠ABC，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABC+∠BEF ∴∠DAE=∠BEF， 在△ADE和△EBF中，∴△ADE≌△EBF， ∴DE=BF；
（2）如图2，过点C作CN⊥CD交AD于N，
，
∵∠ACB=90°， ∴∠ACN=∠BCD， ∵∠ACB=90°=∠ADB， ∴∠CAN=∠CBD， 在△ACN和△CBD中，∴△ACN≌△CBD， ∴CN=CD， ∵∠DCN=90°， ∴∠ADC=45°；
（3）如图3，记EF与AB的交点为G，连接CG， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED=90°，∠DCE=45°， ∴∠BCE+∠BCD=45°， ∵∠BCD+∠BDC=45°， ∴∠BCE=∠BDC， ∵∠ACB=90°，EF⊥AC， ∴EF∥BC， ∴∠CEF=∠BCE， ∴∠BDC=∠CEF， ∴点C，D，E，G共圆， ∴∠CGD=∠CED=90°， ∴∠AGC=90°， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=45°，[] ∴∠ACG=45°=∠A， ∴AG=CG， ∵EF⊥AC，
，
∴AF=CF，
即：点F是AC的中点．
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