高数上册知识点

高等数学上册知识点

一、 函数与极限 （一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；

函数

f(x)在x0连续 limf(x)f(x0)xx0

间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)

第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义

1） 数列极限 : limxna0, N, nN, xna

n2） 函数极限 :limf(x)A0, 0, x, 当 0xx0 时， f(x)A

xx0左极限：f(x0)limf(x) 右极限：f(x0)limf(x)

xx0xx0xx0limf(x)A 存在 f(x0)f(x0)

2、 极限存在准则

1） 夹逼准则： 1）ynxnzn(nn0)

2）limynlimzna limxna

nnn2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量

1） 定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1 ~o(); Th2 ~,~,lim存在，则 limlim（无穷小代换） 4、 求极限的方法

1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；

14) 两个重要极限： a) limsinx1 b) lim(1x)xlim(1)xe

x0xx0xx5）无穷小代换：（x0） a)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx b) 1cosx~c) ex112x 21~x,（ax1~xlna） d)ln(1x)~x （loga(1x)~x） e) (1x)1~x lna

二、 导数与微分

第 1 页 共 6 页

高等数学（上）知识点

（一） 导数 1、

定义：f(x0)limf(x)f(x0)

xx0xx0f(x)f(x0)左导数：f(x0)limf(x)f(x0) , 右导数：f(x0)lim

xxxx0xx00xx0函数f(x)在x0点可导f(x0)f(x0) 2、 3、

4、

几何意义：f(x0)为曲线yf(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率.

可导与连续的关系： 求导的方法

1） 导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、 高阶导数

1）

2dy 2)Leibniz公式：定义：dyddx2dxdxuv(n)k(k)(nk) Cnuvk0n（二） 微分

1） 定义：yf(x0x)f(x0)Axo(x)，其中A与x无关. 2） 可微与可导的关系：可微可导，且dyf(x0)xf(x0)dx

三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理

1、 Rolle定理：若函数f(x)满足：

1）f(x)C[a,b]； 2）f(x)D(a,b)； 3）f(a)f(b)；则(a,b),使f()0. 2、 Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：

1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba). 3、 Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足： 1）

f(x),F(x)C[a,b]； 2）f(x),F(x)D(a,b)；3）F(x)0,x(a,b)

f(b)f(a)f() F(b)F(a)F()则(a,b),使

（二） 洛必达法则 （三） Taylor公式 （四） 单调性及极值

1、

单调性判别法：f(x)C[a,b]，f(x)D(a,b)，则若f(x)0，则f(x)单调增加；则若f(x)0，则f(x)单调减少.

2、 极值及其判定定理：

第 2 页 共 6 页

高等数学（上）知识点

a) 必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f(x)的极值点，则f(x0)0. b) 第一充分条件：f(x)在x0的邻域内可导，且f(x0)0，则①若当x时，f(x)0，则x0为极大值点；②若当xx0时，f(x)0，当xx0x0时，f(x)0，当xx0时，f(x)0，则x0为

极小值点；③若在x0的两侧f(x)不变号，则x0不是极值点.

c) 第二充分条件：f(x)在x0处二阶可导，且f(x0)0，f(x0)0，则 ①若f(x0)0，则

3、 1）

x0为极大值点；②若f(x0)0，则x0为极小值点.

凹凸性及其判断，拐点

f(x)在区间I上连续，若x1,x2I, f(x1x2)2f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I 上的图形是凹

2的；若x1,x2I, f(x1x2f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I 上的图形是凸的. )222）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则 a) 若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； b) 若x(a,b),f(x)0,则

f(x)在[a,b]上的图形是凸的.

3）拐点：设yf(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线yf(x)经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点.

（五） 不等式证明

1、 利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论

1、连续函数的介值定理； 2、Rolle定理； 3、函数的单调性； 4、极值、最值； 5、凹凸性. （七） 渐近线

1、 铅直渐近线：limf(x)，则xa为一条铅直渐近线；

xa2、 水平渐近线：limf(x)b，则yb为一条水平渐近线；

x3、 斜渐近线：lim（八） 图形描绘

四、 不定积分 （一） 概念和性质

1、 2、

xf(x)k,lim[f(x)kx]b存在，则ykxb为一条斜渐近线.

xx原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F(x)f(x)，则F(x)称为

f(x)的一个原函数.

不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.

第 3 页 共 6 页

高等数学（上）知识点

3、 基本积分表（P188，13个公式）； 4、 性质（线性性）.

（二） 换元积分法

1、 第一类换元法（凑微分）：

f[(x)](x)dxf(u)duu(x)

2、 第二类换元法（变量代换）：f(x)dx（三） 分部积分法：udvuvvdu

f[(t)](t)dtt1(x)

（四） 有理函数积分 ： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.

五、 定积分

（一） 概念与性质：

1、 2、

定义：f(x)dxlimf(i)xi

abn0i1性质：（7条）

性质7 （积分中值定理） 函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]，使

baf(x)dxf()(ba)

（平均值：f()baf(x)dxba）

（二） 微积分基本公式（N—L公式）

1、

变上限积分：设(x)f(t)dt，则(x)f(x)

axd(x)f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x) 推广：(x)dx2、

N—L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)

bb（三） 换元法和分部积分

1、

换元法：

baf(x)dxf[(t)](t)dt 2、分部积分法：udvuvavdu

baa（四） 反常积分

1、 无穷积分：

af(x)dxlim瑕积分：

tatf(x)dx, bbf(x)dxlimttabf(x)dx, f(x)dxt0f(x)dx0f(x)dx

2、

baf(x)dxlimf(x)dx（a为瑕点）, f(x)dxlimf(x)dx（b为瑕点）

tattbab两个重要的反常积分：

, p1dx1) 2) axpa1p, p1p1第 4 页 共 6 页

(ba)1q, q1bbdxdx 1qa(xa)qa(bx)q, q1高等数学（上）知识点

六、 定积分的应用 （一） 平面图形的面积

1、 直角坐标：A[f2(x)f1(x)]dx

ab

2、

2极坐标：A1[2()12()]d 2

（二） 体积

1、 旋转体体积：

a)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：Vxfabab2(x)dx

b)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：Vy2xf(x)dx（柱壳法） 2、 平行截面面积已知的立体：V（三） 弧长

1、 直角坐标：s3、极坐标：s

七、 微分方程 （一） 概念

1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数. 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.

通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.

（二） 变量可分离的方程

2baA(x)dx

ba1f(x)dx 2、参数方程：s(t)2(t)2dt

()2()2d

g(y)dyf(x)dx，两边积分g(y)dyf(x)dx

（三） 齐次型方程

xdydudxxdxdvdyyy； 或()，设v，则uxvy ()，设u，则

ydyydydydxdxdxxx（四） 一阶线性微分方程

第 5 页 共 6 页

高等数学（上）知识点

P(x)dxdyP(x)dxdxC Q(x)eP(x)yQ(x) ，用常数变易法或用公式：yedx（五） 可降阶的高阶微分方程

1、y(n)f(x)，两边积分n次；

2、yf(x,y)（不显含有3、yy），令yp，则yp；

dyf(y,y)（不显含有x），令yp，则ypdp

（六） 线性微分方程解的结构

1、y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是；

2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解；

3、yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解.

（七） 常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0

特征方程：r2prq0，特征根： r1,r2

特征根 1r2 实根 rrx通 解 yC1e1C2e r2x r1r2p2y(C1C2x)e1 yex(C1cosxC2sinx) rxr1,2i

（八） 常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x)

0, λ不是特征根1、f(x)ePm(x)，设特解yxeQm(x)，其中 k1, λ是一个单根2, λ是重根x*kx2、f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx

(1)(2)(x)cosxRm(x)sinx， 设特解y*xkexRm0, i不是特征根其中 mmax{l, n}，k

1, i是特征根第 6 页 共 6 页