2015-2016海淀高三一模数学文科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（文科）2016.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.已知集合A{xZ|2x3},B{x|2x1}，则AB

A. {2,1,0} B. {2,1,0,1} C. {x|2x1} D. {x|2x1} 2. 已知向量a(1,t)，b(3,9)，若ab，则t A.1B.2 C.3 D.4

开 始 输入 3.某程序的框图如图所示，若输入的zi（其中i为虚数单位），则输 出的S值为

A.1B.1 C.i D.i

n=1 是 n >5 否 xy+20,14.若x,y满足xy40,则zxy的最大值为

2y0, A.

输出S 结束 n=n+1 57 B.3 C. D.4 2211主视图1213左视图5.某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 A.332326 B. C. D. 32336.已知点P(x0,y0)在抛物线W:y24x上，且点P到W的准线的距离与

俯视图点P到x轴的距离相等，则x0的值为 A.

13B.1 C.22 D.2

sin(x),x0,π7.已知函数f(x)则“”是“函数f(x)是偶函数”的

4cos(x), x0,A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

高三文科试题1 / 13

8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成

机器 工作效益一 二 三 四 五 甲 乙 五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是 ．．

A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D.获得的效益值总和为78

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 函数f(x)2x2的定义域为___.

戊 丙 丁 15 22 9 7 13 17 23 13 9 15 14 21 14 11 14 17 20 12 9 15 15 20 10 11 11 10. 已知数列an的前n项和为Sn，且Snn24n，则a2a1__.

πx2y211. 已知l为双曲线C:221的一条渐近线,其倾斜角为，且C的右焦点为(2,0)，

4ab则C的右顶点为__, C的方程为__.

1112. 在, 23, log32这三个数中，最小的数是__.

2π5π13. 已知函数f(x)sin(2x). 若f()f()2，则函数f(x)的单调增区间为__.

121214. 给定正整数k2，若从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中任取组成一个．．k个顶点，集合M{X1,X2,...,Xk}，均满足Xi,XjM，Xl,,XtM，使得直线XiXjXl,Xt,则k的所有可能取值是__.

高三文科试题2 / 13

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

在ABC中，C2π，a6. 3（Ⅰ）若c14，求sinA的值；

（Ⅱ）若ABC的面积为33，求c的值.

16.（本小题满分13分）

已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn,满足S2a10, a312.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn2016？若存在，求符合条件的n的最小值；若不存在，

说明理由.

17.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M,N分别为线段PB,PC上的点，且MNPB. （Ⅰ）求证：平面PBC平面PAB；

（Ⅱ）求证：当点M不与点P,B重合时, MN//平面ABCD； （Ⅲ）当AB3,PA4时，求点A到直线MN距离的最小值.

18.（本小题满分13分）

PMABNDC一所学校计划举办“国学”系列讲座. 由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动.在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图所示. （Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩,估计该班男、女生国学

男

5 4

6 7 8

8 7 6

6

女

素养测试的平均成绩；

（Ⅱ）比较这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩

的方差的大小；(只需直接写出结果)

0 6 9 7 8

（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩

均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）

高三文科试题3 / 13

19.（本小题满分14分）

3x2y2已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A,B两点，

ab2|AB|2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M,N两点.

是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点(2,0)？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x)1x. xe（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的零点和极值；

（Ⅲ）若对任意x1,x2[a,)，都有f(x1)f(x2)

高三文科试题4 / 13

1成立，求实数a的最小值. e2

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（文科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

9． [1,) 10． 2 x2y2 11.(2,0),1 225， 6， 7， 8 14． 12．

1 2 13．[5ππkπ,kπ],kZ1212说明：1.第9题,学生写成 x1的不扣分 2.第13题写成开区间 (没有写kZ的,扣1分

3. 第14题有错写的，则不给分

只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一： 在ABC中，因为

5ππkπ,kπ),kZ的不扣分, 1212ac，……………………….2分 sinAsinC614即sinA3……………………….3分

2高三文科试题5 / 13

所以sinA33. ……………………….5分 14

方法二：过点B作线段AC延长线的垂线，垂足为D 因为BCAA2ππ，所以BCD……………………….1分 3314在RtBDC中，BD3BC33……………………….3分 2BD33……………………….5分 AB142πB63C在RtABD中，sinA（Ⅱ）方法一： 因为SABC所以33分

D1absinC. ……………………….7分 2136b，解得b2. ……………………….922又因为c2a2b22abcosC. …………………….11分 所以c436226(),

所以c52213. …………………….13分

方法二：过点A作线段BC延长线的垂线，垂足为D 因为ACB又因为SABC即33所

2122ππ,所以ACD. 331BCAD, ……………………….7分 2A16AD, 2以

B62π3C13DA3D.

……………………….9分

在RtABD中，AB2BD2AD2. ……………………….11分 所以AB52213. 16.解：

(Ⅰ)设数列an的公比为q，

高三文科试题6 / 13

…………………….13分

因为S2a10，所以2a1a1q0. ……………………….1分 因为a10,所以q2,……………………….2分 又因为a3a1q212，……………………….3分

所以a13, ……………………….4分 所以an3(2)n1（或写成an3(2)n）……………………….7分 2

说明：这里的公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n项和公式正确写出的，都给2分

(Ⅱ)因为Snn31(2)1(2)n1(2)n. ……………………….10分

n令Sn2016, 即1(2)2016，整理得(2)2015.……………………….11分 当n为偶数时，原不等式无解；

当n为奇数时，原不等式等价于22015，解得n11， 所以满足Sn2016的正整数n的最小值为11.……………………….13分

17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，ABBC. ……………………….1分 因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC. ……………………….2分 又ABPAA，AB,PA平面PAB，……………………….3分

所以BC平面PAB. ……………………….4分 因为BC平面PBC, 所以平面PBC平面PAB. ……………………….5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知, BC平面PAB，PB平面PAB，所以BCPB. ……………………….6分 在PBC中，BCPB，MNPB，所以MN//BC，……………………….7分 又BC平面ABCD，MN平面ABCD，……………………….9分

所以MN//平面ABCD. …………………….10分

（Ⅲ）解：因为MN//BC, 所以MN平面PAB，…………………….11分

高三文科试题7 / 13

n

而AM平面PAB，所以MNAM，…………………….12分 所以AM的长就是点A到MN的距离，…………………….13分 而点M在线段PB上

所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离， 在RtPAB中，AB3,PA4,所以A到直线MN的最小值为

18.解:

（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为x1,x2.

则x112. …………………….14分 56476777873.75……………………….2分

4567976708887x276……………………….4分

6

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.……………………….7分

（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，……………………….8分

男生按成绩由低到高依次编号为a1,a2,a3,a4， 女生按成绩由低到高依次编号为b1,b2,b3,b4,b5,b6，

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…………………….10分

(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a1,b5)，(a1,b6)， (a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，(a2,b5)，(a2,b6)，

(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,b3)，(a3,b4)，(a3,b5)，(a3,b6)， (a4,b1)，(a4,b2)，(a4,b3)，(a4,b4)，(a4,b5)，(a4,b6)，

其中两名同学均为优良的取法有12种取法…………………….12分

(a2,b3)，(a2,b4)，(a2,b5)，(a2,b6)，

(a3,b3)，(a3,b4)，(a3,b5)，(a3,b6)，(a4,b2)，(a4,b3)，(a4,b4)，(a4,b5)，(a4,b6)

所以P(A)121， 2421.…………………….13分 2即两名同学成绩均为优良的概率为

高三文科试题8 / 13

19.解：

（Ⅰ）由已知AB2，得知2b2，b1,……………………….1分

又因为离心率为

222c33，所以.……………………….2分

a22因为abc，所以a2,, ……………………….4分

x2所以椭圆C的标准方程为y21. ……………………….5分

4

（Ⅱ）解法一：假设存在. 设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 由已知可得A(0,1) B(0,1)， 所以AP的直线方程为yy01x1，……………………….6分 x0y01x1， x0BP的直线方程为y令x4，分别可得m4(y01)4(y01)1，n1，……………………….8分 x0x08，……………………….9分 x0所以MNmn2线段MN的中点(4,4y0)，……………………….10分 x0若以MN为直径的圆经过点(2,0)， 则(42)(24y040)2(1)2, ……………………….11分 x0x08x02因为点P在椭圆上，所以y021，代入化简得10，……………………….13分

4x0所以x08，而x02，2，矛盾，

所以这样的点P不存在. ……………………….14分

高三文科试题9 / 13

解法二：

0). 假设存在，记D(2，设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 由已知可得A(0,1) B(0,1)， 所以AP的直线方程为yy01x1，……………………….6分 x0y01x1， x0BP的直线方程为y令x4，分别可得m4(y01)4(y01)1，n1，……………………….8分 x0x0所以M(4,4(y01)4(y1)1),N(4，01) x0x0因为MN为直径，所以DMDM0……………………….9分

4(y01)4(y01)(2,1)(2,1)0 所以DMDNx0x016y02(4x0)20……………………….11分 所以DMDN4x02x02因为点P在椭圆上，所以y021，……………………….12分

44x028x0x028x0x020……………………….13分 代入得到DMDN4x02x02所以x08，这与x0[2,2]矛盾……………………….14分 所以不存在

法三：

0), H(4，0) 假设存在，记D(2，设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 由已知可得A(0,1) B(0,1)，

高三文科试题10 / 13

所以AP的直线方程为yy01x1，……………………….6分 x0y01x1， x0BP的直线方程为y令x4，分别可得m4(y01)4(y01)1，n1，……………………….8分 x0x0所以M(4,4(y01)4(y1)1),N(4，01) x0x0因为DHMN, 所以DH2HNHM……………………….9分 所以4|4(y01)4(y01)1||1| x0x016y02168x0x02|……………………….11分 所以4=|x02x02因为点P在椭圆上，所以y021，……………………….12分

4代入得到4|85x0|, x0解得x08或x08……………………….13分 9当x08时，这与x0[2,2]矛盾 当x08时，点M,N在x轴同侧，矛盾 9所以不存在……………………….14分

20.解：（Ⅰ）因为f'(x)x2，……………………….1分 ex所以f'(0)2.……………………….2分

因为f(0)1，所以曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2xy10.……………………..4分 （Ⅱ）令f(x)1x0，解得x1， ex所以f(x)的零点为x1.……………………….5分 由f'(x)x20解得x2， xe高三文科试题11 / 13

则f'(x)及f(x)的情况如下：

x f'(x) f(x) ……………………….7分

(,2)  2 0 极小值(2,)  1 e2  所以函数f(x)在x2 时,取得极小值

（Ⅲ）法一：

1……………………….8分 2e1x0. ex1x当x1时，f(x)x0. ……………………….9分

e当x1时，f(x)若a1，由（Ⅱ）可知f(x)的最小值为f(2)，f(x)的最大值为f(a)，…………………….10分 所以“对任意x1,x2[a,)，有f(x1)f(x2)即11恒成立”等价于 f(2)f(a)e2e211a1， ……………………….11分 2a2eee解得a1. ……………………….12分 所以a的最小值为1. ……………………….13分 法二：

1x0. ex1x当x1时，f(x)x0.……………………….9分

e1且由（Ⅱ）可知，f(x)的最小值为f(2)2， ……………………….10分

e当x1时，f(x)若a1，令x12,x2[a,1)，则x1,x2[a,) 而f(x1)f(x2)f(x1)0f(x1)f(2)1，不符合要求， e2所以a1. ……………………….11分 当a1时，x1,x2[1,),f(x1)0,f(x2)0 所以f(x1)f(x2)f(x1)0f(2)高三文科试题12 / 13

1，即a1满足要求， ……………………….12分 2e

综上，a的最小值为1. ……………………….13分

法三：

1x0. xe1x当x1时，f(x)x0.……………………….9分

e1且由（Ⅱ）可知，f(x)的最小值为f(2)2， ……………………….10分

当x1时，f(x)e若2[a,)，即a2时，

令x12,则任取x2[a,), 有f(x1)f(x2)f(2)f(x2)1e2f(x2)1e2 所以f(x2)0对x2[a,)成立，

所以必有x21成立，所以[a,)[1,)，即a1. 而当a1时，x1,x2[1,),f(x1)0,f(x2)0 所以f(x1)f(x2)f(x1)0f(2)1e2，即a1满足要求， 而当a2时，求出的a的值，显然大于1，

综上，a的最小值为1.

高三文科试题13 / 13

……………………….11分 ……………………….12分 ……………………….13分