湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知等差数列{an}中，an=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（） A． 1，3 B． ﹣3，4 C． 1，4 D．1，2 2．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．（5分）已知x，y满足
，则z=x﹣y的最大值是（）
C． 2
D．﹣2
A． ﹣1 B． 1 4．（5分）下列求导运算正确的是（） A． C．
5．（5分）设双曲线 A． 4
B． 3
2
（cosx）′=sinx D．
B．
的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（） C． 2
D．1
，则a﹣b值是（）
C． 10
，则△ABC是（）
B． 等边三角形
D． 等腰三角形或直角三角形
D．14
6．（5分）若不等式ax+bx+2＞0的解集 A． ﹣10
B． ﹣14
7．（5分）在△ABC中，若 A． 等腰三角形
C． 直角三角形
4
8．（5分）函数y=x﹣4x+3在区间上的最大值为（） A． 11 B． 8 C． 12
D．0
9．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若ai，j=2006，则i、j的值分别为（）
A． 64，53 B． 63，53 C． 63，54 D．64，54
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）
2
11．（5分）命题“∃x∈R，x+x≤0”的否定是．
12．（5分）曲线y=x﹣3x+1在点（1，﹣1）处的切线方程为．
13．（5分）在△ABC中，若
14．（5分）已知数列{an}满足an=
15．（5分）抛物线y=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=（1）求sinC的值； （2）求△ABC的面积．
17．（12分）已知p：关于x的方程x+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x的方程4x+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2+lg8=lg4，求z=
x
y
2
2
23
2
，则最大角的余弦值等于．
+1（n≥2），若a7=，则a5=．
，cosA=，b=，
的最小值．
19．（13分）设椭圆C：（1）求椭圆C的方程； （2）若过点F且倾斜角为
20．（13分）已知函数
+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）
的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．
在
x=1时取得极值． （1）求b的值；
（2）求f（x）的单调减区间．
21．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+1=0上． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；
（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值．
，数列{bn}中，
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知等差数列{an}中，an=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（） A． 1，3 B． ﹣3，4 C． 1，4 D．1，2
考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出． 解答： 解：∵等差数列{an}中，an=4n﹣3， ∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5． ∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．
∴首项a1和公差d的值分别为1，4． 故选：C．
点评： 本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题． 2．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 阅读型．
分析： 判断出“a=1”成立能推出“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，反之“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，推不出“a=1”一定成立，利用充要条件的有关定义得到选项． 解答： 解：若“a=1”成立则有“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立， 反之若“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，得到a=1或a=2，推不出“a=1”一定成立， 所以“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的充分不必要条件， 故选A．
点评： 本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后前后相互推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题．
3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）
A． ﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出可行域，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，目标函数取最大值，代值计算可得．
解答： 解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），
变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，
目标函数取最大值，代值可得z=x﹣y的最大值为1﹣0=1， 故选：B
点评： 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 4．（5分）下列求导运算正确的是（）
A． C．
考点： 专题： 分析： 解答：
（cosx）′=sinx D．
B．
导数的运算．
导数的概念及应用．
利用求导公式对四个选项分别分析，选择正确答案． 解：对于A，（cosx）′=﹣sinx；A错误；
对于B，（sin对于C，
）′=0；B错误；
；C错误；
对于D，；D正确；
故选D．
点评： 本题考查了求导公式的运用；对于根式形式的求导，一般化为幂的形式再求导．
5．（5分）设双曲线
的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）
D．1
A． 4 B． 3 C． 2
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由题意，解答： 解：由题意，
，即可求出a的值．
，
∴a=2， 故选：C．
点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．
6．（5分）若不等式ax+bx+2＞0的解集
A． ﹣10 B． ﹣14 C． 10
考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题： 计算题．
2
，则a﹣b值是（）
D．14
分析： 先根据不等式的解集得到方程的解为案．
，进而求出a与b的数值，即可得到答
解答： 解：由题意可得：不等式ax+bx+2＞0的解集所以方程ax+bx+2=0的解为
2
2
，
，
所以a﹣2b+8=0且a+3b+18=0， 所以a=﹣12，b=﹣2， 所以a﹣b值是﹣10． 故选A．
点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．
7．（5分）在△ABC中，若
，则△ABC是（）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形
考点： 正弦定理；三角形的形状判断． 专题： 计算题．
分析： 利用正弦定理化简已知等式，变形后利用二倍角的正弦函数公式化简，得到A与B相等或互余，即可判断出三角形ABC的形状．
解答： 解：由正弦定理得：==，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 故选D
点评： 此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
8．（5分）函数y=x﹣4x+3在区间上的最大值为（） A． 11 B． 8 C． 12 D．0
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．
分析： 先对函数进行求导，然后判断函数在上的单调性，进而确定最值．
4
解答： 解：∵y=x﹣4x+3，
3
∴y′=4x﹣4
34
当y′=4x﹣4≥0，即x≥1时，函数y=x﹣4x+3单调递增， ∴在区间上，当x=2时函数取到最大值11，
34
当y′=4x﹣4＜0，即x＜1时，函数y=x﹣4x+3单调递减 ∴在上，当x=﹣1时函数取到最大值8．
4
∴函数y=x﹣4x+3在区间上的最大值为 11． 故选：A．
4
点评： 本题主要考查利用导数求函数的最值的问题．属基础题．
9．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（） A．
B．
C．
D．
考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得
cos∠PF1F2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定
cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．
解答： 解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1）， 则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==
，
解得x1=
2
．
∵x1∈（0，a]，∴0≤∴e=≥
．
22
＜a，即4c﹣3a≥0．且e＜1
2222
故椭圆离心率的取范围是 e∈．
故选A．
点评： 本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题． 10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若ai，j=2006，则i、j的值分别为（）
A． 64，53 B． 63，53 C． 63，54 D．64，54
考点： 归纳推理．
专题： 规律型；等差数列与等比数列．
分析： 第一行有一个数，第二行有两个数…，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，表示出等差数列的前项和，使得和大于或等于2006，解出不等式，做出n的值，在满足条件的数字附近检验，得到结果．
解答： 解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，…， 第62行有62个数，第63行有63个数，第n行有n个数字， 这样每一行的数字个数组成一个等差数列，
∴前n项的和是∴
≥2006，
，
∴（n+64）（n﹣63）≥0 ∴n≥63或n≤﹣64（舍去） 当n=63时，
=2016
（1+62）+53=2006．
∴a63，53=（1+2+3+…+62）+53=
故i、j的值分别为：63；53， 故选：B
点评： 本题考查数列的性质和应用，本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列，后面的问题按照等差数列来解题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）
22
11．（5分）命题“∃x∈R，x+x≤0”的否定是∀x∈R，x+x＞0．
考点： 命题的否定． 专题： 常规题型．
分析： 根据命题“∃x∈R，x+x≤0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“≤“改为“＞”即可得答案．
2
解答： 解：∵命题“∃x∈R，x+x≤0”是特称命题
2
∴命题的否定为：∀x∈R，x+x＞0
2
故答案为：∀x∈R，x+x＞0．
点评： 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
12．（5分）曲线y=x﹣3x+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y=﹣3x+2．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题．
2
32
分析： 求出函数y=x﹣3x+1在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．
32
解答： 解：由曲线y=x﹣3x+1，
2
所以y′=3x﹣6x，
322
曲线y=x﹣3x+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3（1）﹣6=﹣3． 此处的切线方程为：y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2． 故答案为：y=﹣3x+2．
点评： 本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力．
13．（5分）在△ABC中，若
，则最大角的余弦值等于﹣．
32
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 根据已知比值设出a，b，c，利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，将设出的三边长代入求出cosC的值即可． 解答： 解：根据题意设a=k，b=2k，c=k， ∴最大角为C，
利用余弦定理得：cosC===﹣，
则最大角的余弦值为﹣． 故答案为：﹣
点评： 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
14．（5分）已知数列{an}满足an=
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
+1（n≥2），若a7=，则a5=．
分析： 由已知得
，解得a6=
，再由
+1，能求出a5=．
解答： 解：∵数列{an}满足an=+1（n≥2），a7=
，
∴
，解得a6=
，
∴+1，
解得a5=． 故答案为：．
点评： 本题考查数列的第5项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．
15．（5分）抛物线y=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为
．
2
考点： 点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆．
分析： 由抛物线的定义可得d1+d2的最小值为抛物线的焦点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，由点到直线的距离公式计算可得．
2
解答： 解：∵抛物线y=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1， ∴点P到抛物线焦点（，0）的距离为d1， 又点P到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，
∴d1+d2的最小值为点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，
由点到直线的距离公式可得=
故答案为：．
点评： 本题考查点到直线的距离公式，涉及抛物线的定义，转化是解决问题的关键，属基础题．
三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=
，cosA=，b=
，
（1）求sinC的值； （2）求△ABC的面积．
考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）首先根据同角三角函数的关系求出sinA的值，然后由sinC=sin（A+B）利用两角和与差展开，并将值代入即可；
（2）根据正弦定理求出a的值，然后由三角形的面积公式即可得出结果． 解答： 解：（1）∵∴
∴
，
…（6分）
（2）由正弦定理得∴…（12分）
点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
17．（12分）已知p：关于x的方程x+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x的方程4x+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
考点： 复合命题的真假． 专题： 计算题．
分析： 先求出两个命题参数所满足的范围，再根据“p或q”为真，p且q”为假判断出两命题的真假情况，然后求出实数m的取值范围．
22
解答： 解：当P为真时，有
2
，
即 m＞0且﹣m＜0，解得m＞2（4分）
2
当q为真时，有△=16（m﹣2）﹣16＜0得，1＜m＜3 （6分） 由题意：“P或Q”真，“P且Q”为假等价于 （1）P真q假：
得m≥3 （8分）
（2）q真P假：，得 1＜m≤2（11分）
综合（1）（2）m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}（12分）
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是对两个命题时行化简，以及正确理解“p或q”为真，p且q”为假的意义．本题易因为对此关系判断不准出错．
18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2+lg8=lg4，求z=
考点： 专题： 分析： 解答： 则
x
y
的最小值．
基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质；基本不等式． 不等式的解法及应用．
利用对数运算法则求出x+3y=2，然后利用基本不等式求解z的最小值即可．
xy
解：由lg2+lg8=lg4可得xlg2+3ylg2=2lg2∴x+3y=2
“=”在z=
即的最小值：2+
．
时成立．
点评： 本题考查基本不等式的应用，对数的运算法则，考查计算能力．
19．（13分）设椭圆C：（1）求椭圆C的方程； （2）若过点F且倾斜角为
的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|． +
=1 （a＞b＞0）的离心率为
，若左焦点为F（﹣1，0）
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）写出过点F且倾斜角为的直线l的方程，与椭圆C联立，通过韦达定理利用弦长公式
求解弦长|AB|． 解答： 解：（1）∵左焦点为F（﹣1，0）∴c=1 又∵
，∴
∴椭圆C的方程为
（2）直线l的方程为y=x+1 由
消去y，得9x+10x﹣15=0
2
设A（x1，y1），B（x2，y2），则∴
点评： 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的相交的性质，弦长公式的应用，考查计算能力．
20．（13分）已知函数
x=1时取得极值． （1）求b的值；
（2）求f（x）的单调减区间．
在
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用．
2
分析： （1）依题意，得f′（x）=ax﹣（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax﹣（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．
解答： 解：（1）依题意，得f′（x）=ax﹣（a+1）x+b 由于x=1为函数的一个极值点， 则f′（1）=0， 解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax﹣（a+1）x+1， ①当0＜a＜1时，令f′（x）＜0， ∴不等式的解集为②当a＞1时，令f′（x）＜0， ∴不等式的解集为
； ，
； ，
2
2
2
，②当a＞1时，，
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，）； 当a＞1时，f（x）的单调减区间为（，1）．
点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
21．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
，数列{bn}中，
b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+1=0上． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；
（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值．
考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和；数列与函数的综合． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用已知条件求出数列{an}首项，判断是等比数列，即可求出通项公式，利用P（bn，bn+1）在直线x﹣y+1=0上，图象数列是等差数列，即可求解{bn}的通项公式bn； （2）化简cn=an•bn，利用错位相减法直接数列{cn}的前n项和Tn，通过单调性即可求Tn的最小值．
解答： 解：（1）∵Sn=a1=3；
，当n=1 时S1=a1=
，解得
当n≥2时，得，
又a2=3a1=9，所以
；…（4分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+1=0上，∴bn﹣bn+1+1=0，
即bn+1﹣bn=1，所以数列{bn}是等差数列，又b1=1可得bn=n．…（6分） （ 2）∵∴
，
两式相减得
，
，
，
即，
因此：…．（11分）
∵Tn单调递增∴当n=1时{Tn}最小值为3…（13分）
点评： 本题考查等比数列与等差数列的综合应用，数列求和的方法错位相减法的应用，基本知识的考查．
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