高三数学专题7平面向量练习

一、前测训练

1． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．

(2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则b的取值范围是 ． 答案：(1)[0,4]．(2)[－1,1]．

2．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的

点，且AE·BC＝0．则AD·BC＝ ；AD·AE＝ ． (2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点， 

则AEBD＝ ．



(3)已知OA＝OB＝2，OA·OB＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60，则

AB·OC＝________________． 83

答案：(1)－,．(2)1．(3)8－43．

37

二、方法联想 1．向量的运算

方法1 用向量的代数运算．

方法2 结合向量表示的几何图形． 2．向量的应用

方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．

方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决

三、例题分析 [第一层次]

例1 （1）若向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)，且a∥b，则实数x＝ ． 1

（2）已知a，b都是单位向量，a·b＝－，则|a－b|＝ ．

2

（3）已知向量a＝（－3，2），b＝（－1，0），且向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值是 ． （4）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝ 1

答案：（1）－4；（2）3；（3）－；（4）（－2，2）或（－2，0）．

7

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 2．单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法． 3．向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 4．坐标形式下向量模长的计算公式． 二、方法选择与优化建议：

1．第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单．

2．第（4）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，

1

A

B

D E C

先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．

→→

例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则AB•AD＝ ．

→→→→→→

（2）在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0，2)．若OC·AB＝0，AC＝λOB，则实数λ的值为 ．

→→→（3）已知A（－3，0），B（0，3），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值是 ．

（4）在△ABC中，已知BC＝2，AB·AC＝1，则△ABC面积的最大值是 ． 151答案：（1）；（2）2；（3）；（4）2．

23〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

→→

1．解（1）小题可以是基底法（以AB和BD为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．

2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义． 3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 4．平面向量数量积的概念，建立目标函数利用基本不等式求最值．

5．解（4）小题还可以用坐标法，得出点A的轨迹方程，利用图形的直观性求解． 二、方法选择与优化建议：

1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知． 2．解（4）小题由于建立目标函数有些难度，所以用坐标法求解来得简单易懂．

λ

例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ．

μ

b a c →→→

（2）如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点．设AP＝αAB＋βAF（α、β∈R），则α＋β的取值范围是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议：

1．解决这两题用坐标法优于基底法．

2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．

E D •P F C

A B 2

[第二层次]

例1 （1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ． （2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝52，则︱b︱＝ ． 变式：平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．

（3）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝ ． →→

（4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA•AB＝ ．

77

答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；变式：23．（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．

93

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．

2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．

3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．

二、方法选择与优化建议：

1．第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．

2．第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．

1→→→

3．第（4）小题解法1：基底法，选择CA和与CA垂直的BD为基底；解法2：以AC、BD为；两坐标轴

2建立直角坐标系．

→→→→→

例2 （1）已知正△ABC的边长为1，CP＝7CA＋3CB，则CP·AB＝ ．

12→→→

（2）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC（λ1，λ2

23∈R），则λ1＋λ2的值为__________。

→→

（3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则AB·AD的值为 ． C D

A B

（4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ． 1答案：（1）－2；（2）；（3）24；（4）[2－1，2＋1]．

2

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义．

2．将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理． 3．可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）． 4．（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法． 二、方法选择与优化建议：

1．第（3）小题的求解，坐标法优于基底法．从图形的结构上发现便于建系．

3

2．由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂．

λ

例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ．

μ

b a A c 1→→→1→→→

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，AD＝DC，AE＝EB．若BD·AC＝－，

22→→

则CE·AB＝ ． 4答案：（1）4；（2）－．

3

E D

〖教学建议〗

B C 一、主要问题归类与方法： 1．一个向量用两个基底向量来表示，平面向量基本定理． 2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议：

1．第（1）小题由于不容易用基底来表示，所以用坐标法优于基底法．

2．第（2）小题不容易选择基底，而且运算过程复杂，建系则比较单一，所以用坐标法优于基底法．

[第三层次]

例1 （1）设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为 ． （2）若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝19，则向量a，b的夹角是 ．

ππ

（3）函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵

42

y →→→

坐标为1．则(OA＋OB)•AB＝ ．

1 O A B x →→（4）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋→

yAC，则x＝ ，y＝ ． 12π33

答案：（1）；（2）；（3）6；（4）1＋和 2322

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．单位向量的概念以及数量积的定义．可以画图结合图形研究，也可以通过计算，将条件变为b＝c－a，

4

两边平方即得答案．

2．向量的夹角公式．设法求出向量a，b的数量积．

3．坐标形式下向量数量积的运算．求出点A、B的坐标． 4．平面向量基本定理，向量分解，解三角形求解．

→→→

例2 （1）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD•→

BC＝ ．

→→→→→→→

（2）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°， →→→→→→

且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB（λ，μ∈R）， 则λ＋μ的值为 ．

→→→→→（3）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于 ．变→→→式：在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P是AM上一动点，则PA·(PB＋PC)的最小值等于 ． →→→→→→→

（4）如图，在四边形ABCD中，|AB|＋|BD|＋|DC|＝4，|AB|×|BD|＋|BD|×|DC|＝4， →→→→→→→

AB•BD＝BD•DC＝0，则(AB＋DC)•AC的值为 ． 841

答案：（1）－；（2）6；（3）；变式－：（4）4．

392〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

→→

1．基底法求解．很显然是以AB、AC为基底．

→→→

2．平面向量基本定理，把OA、OB看作一组基底，将OC非正交分解．通过解三角形求出答案． 3．平面几何性质；向量加法的平行四边形法则；建立目标函数求最值． 4．结合平面几何性质，突出向量数量积的定义．

5．突出了“数形结合”和“整体代换”等数学思想． 二、方法选择与优化建议：

1．解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法。不容易找到基底或者表示起来较为复杂，计算量大，往往就用坐标法，建立适当的坐标系是难点．

→→→

例3 图1，等腰△ABC中，AB＝AC＝1，A＝120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝mAB，AF

A

如图

B D C

A M

F

5

→→＝nAC，其中m、n∈（0，1），且m＋4n＝1.若EF、BC的中点分别为M、N，则|MN|的最小值为 ． 答案：

7. 7

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

→→→

1．基底法求解．很显然是以AB、AC为基底．通过构造△AMN，利用向量的加减法法则设法把MN向量用→→→

AB、AC表示出来，将MN平方之后建立目标函数，通过消元研究关于m或n的二次函数的最小值． 2．坐标法求解．以BC边所在直线为x轴，BC边的高所在直线为y轴，建立直角坐标系．设法将M、N两点的坐标表示出来，利用向量坐标形式下模长公式建立起目标函数进行求解．

→→→

3．基底法的难点是：要学会通过构造△AMN，利用向量的加减法法则设法把MN向量用AB、AC表示出来． 4．坐标法的难点是：首先要利用条件将E、F两点的坐标表示出来． 5．关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的． 二、方法选择与优化建议：

1．解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．本题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．

→→→→

2．基底法难点是用基底AB、AC来表示MN，构造三角形△AMN，将MN向量放在△AMN中研究，这种→→

方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将AM和AN用基→1→→1→→→1→→

底向量来表示．AM＝(AE＋AF)＝( mAB＋nAC)，AN＝(AB＋AC)．在接下来对目标函数进行消元变形

222的过程中，关注计算的理性化．

3．坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来．需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质．

四、反馈练习

6